2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质（第2课时）

-1-第2课时指数函数及其性质的应用学习目标核心素养1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a0且a≠1)．[解](1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.51，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.53.2，所以1.52.51.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2－1.5，所以0.6－1.20.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.21.70＝1，0.92.10.90＝1，所以1.70.20.92.1.(4)当a1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1a0.3.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．(4)当底数含参数时，要按底数a1和0a1两种情况分类讨论．-2-[解]先根据幂的特征，将这4个数分类：(2)中，(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝43x，y＝2x的图象，再分别取x＝13，x＝23，比较对应函数值的大小，如图)，利用指数函数的单调性解不等式【例2】(1)解不等式123x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1ax＋6(a0，a≠1)，求x的取值范围．[解](1)∵2＝12－1，∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1.∵y＝12x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0a1时，函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，根据相应二次函数的图象可得x－1或x5；②当a1时，函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，根据相应二次函数的图象可得－1x5.-3-综上所述，当0a1时，x－1或x5；当a1时，－1x5.1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式af(x)ag(x)(a0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)ag(x)⇔f（x）g（x），a1，f（x）g（x），0a1.2．若ax＋11a5－3x(a0且a≠1)，求x的取值范围．[解]因为ax＋11a5－3x，所以ax＋1a3x－5，当a1时，y＝ax为增函数，可得x＋13x－5，所以x3；当0a1时，y＝ax为减函数，可得x＋13x－5，所以x3.综上，当a1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0a1时，x的取值范围为(3，＋∞)．指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝12x＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为（－∞，＋∞）增区间为（0，＋∞）减区间为（－∞，0）减区间为（－∞，＋∞）2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．3．函数y＝a－x2(a0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0a1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性相反．【例3】判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．思路点拨：令u＝x2－2x―→函数u（x）的单调性-4-―→函数y＝13u的单调性――→同增异减函数f（x）的单调性[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，∴013u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0，3]．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．[解]函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．函数y＝af(x)(a0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．-5-(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论．(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1.当a1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．当0a1时，y＝af(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函数．()(2)若0.1a0.1b，则ab.()(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.()(4)由于y＝ax(a0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．若2x＋11，则x的取值范围是()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)D[∵2x＋11＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋10，∴x－1.]3．下列判断正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5D[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]4．已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图象经过点2，19.(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．-6-[解](1)由已知得a2＝19，解得a＝13，因为f(x)＝13x在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以13x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0，3]．