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-1-第1课时指数函数的图象及性质学习目标核心素养1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.1．指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称思考：1．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a1时，图象具有上升趋势；当0a1时，图象具有下降趋势．2．指数函数值随自变量有怎样的变化规律？[提示]指数函数值随自变量的变化规律-2-1．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－xD[由指数函数的定义可知D正确．]2．函数y＝3－x的图象是()ABCDB[∵y＝3－x＝13x，∴B选项正确．]3．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x3B．f(x)＝2xC．f(x)＝12xD．f(x)＝x13B[设f(x)＝ax(a0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]4．函数y＝ax(a0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．(1，＋∞)[结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a0且a≠1)在R上是增函数，则a1.]指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()A．1B．2C．3D．0(2)已知函数f(x)为指数函数，且f－32＝39，则f(－2)＝________．(1)D(2)19[(1)①中底数－80，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；-3-③中底数a，只有规定a0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f(x)＝ax(a0且a≠1)，由f－32＝39得a－32＝39，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1.已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．12，1∪(1，＋∞)[由题意可知2a－10，2a－1≠1，解得a12，且a≠1，所以实数a的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．]指数函数的图象的应用【例2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3，4)[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0a1，又0f(0)1，所以0a－b1＝a0，即－b0，b0，故选D.(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点(3，4)．]-4-指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解](1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y＝的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？提示：定义域相同．2．如何求y＝的值域？提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】求下列函数的定义域和值域：思路点拨：函数式有意义―→原函数的定义域――――→指数函数的值域＝3m.-5-从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．