2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 4 4.1 逻辑联结词“且” 4.2 逻辑联结

-1-4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”4．3逻辑联结词“非”学习目标：1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(重点)2.会判断“p且q”“p或q”“非p”命题的真假．(难点)1．逻辑联结词“且”(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p且q.(2)命题p且q的真假判定pqp且q真真真真假假假真假假假假(3)逻辑联结词“且”与集合中的“交集”的含义相同，可以用“且”来定义集合A与B的交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．思考：若p：2x＋y＝3，q：x－y＝6.若p且q为真，能否求出x、y的值？[提示]由题意有2x＋y＝3，x－y＝6，解得x＝3，y＝－3.2．逻辑联结词“或”(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p或q.(2)命题p或q的真假判定pqp或q真真真真假真假真真假假假(3)逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A与B的并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．-2-思考：逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？[提示]生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有．3．逻辑联结词“非”(1)定义一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作﹁p，读作非p或p的否定．(2)命题﹁p的真假判定p﹁p真假假真(3)逻辑联结词“非”与集合中的“补集”含义相同，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①﹁(p且q)＝﹁p或﹁q；②﹁(p或q)＝﹁p且﹁q.思考：命题的否定与否命题有什么区别？[提示]命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．()(2)“p或q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．()(3)“梯形的对角线相等且平分”是“p或q”形式的命题．()(4)语句中只要出现逻辑联结词就是复合命题．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x＝1是方程x2＋x＋1＝0的根，则下列命题为真命题的是()A．p且﹁qB．﹁p且qC．﹁p且﹁qD．p且qA[易知p为真命题，q为假命题，故p且﹁q为真，﹁p且q为假，﹁p且﹁q为假，p且q为假．]3．“1≤1”是________形式的命题(填“p且q”或“p或q”)，此命题是________命题(填“真”或“假”)．[解析]1≤1⇔11或1＝1，故“1≤1”是“p或q”形式的命题，此命题是真命题．-3-[答案]p或q真4．已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}．给出下列结论：①“p或q”为真；②“p或q”为假；③“p且q”为真；④“p且q”为假；⑤“﹁p”为真；⑥“﹁q”为假．其中正确结论的序号是________．[解析]由题意可知，p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“﹁p”为真，“﹁q”为假，故①④⑤⑥正确．[答案]①④⑤⑥用逻辑联结词构造新命题【例1】分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“﹁p”形式的命题．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．[解](1)p或q：6是自然数或是偶数．p且q：6是自然数且是偶数．﹁p：6不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．﹁p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．p且q：3是9的约数且是18的约数．﹁p：3不是9的约数．用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．指出下列命题的形式及构成它的两个命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；(3)方程x2＋mx＋1＝0没有实数根．-4-[解](1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．(3)这个命题是“﹁p”的形式，其中p：方程x2＋mx＋1＝0有实数根．含逻辑联结词的命题的真假判断【例2】指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假：(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；(2)p：x2＋1≥1，q：34；(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；(4)p：1∈{1,2}，q：{1}{1,2}．思路探究：要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p、q的真假判断命题的真假．[解](1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．1．判断含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题的真假，首先弄清结构，其次判断p，q的真假，最后判断新命题的真假．2．判断新命题的真假可以总结为三句话，即(1)对“p或q”命题：有真则真，其余为假；(2)对“p且q”命题：有假则假，其余为真；(3)对“﹁p”命题：真假相反．2．(1)若“﹁p或q”是假命题，则()A．p且q是假命题B．p或q是假命题C．p是假命题D．﹁q是假命题(2)设命题p：函数y＝cos2x＋π12的最小正周期为2π；命题q：函数y＝tanx的图像关于直线x＝3π2对称，则()A．p为真B．﹁q为假-5-C．p且q为真D．p或q为假[解析](1)由于“﹁p或q”是假命题，则﹁p与q均是假命题，所以p是真命题，﹁q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.(2)函数y＝cos2x＋π12的最小正周期T＝2π2＝π，所以p为假命题；函数y＝tanx的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以﹁q为真，p且q为假，p或q为假，故选D.[答案](1)A(2)D含逻辑联结词的命题真假的应用[探究问题]1．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p是假命题，则a的取值范围是什么？[提示]﹁p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵﹁p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．2．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p且q和﹁q都是假命题，求x的取值集合．[提示]∵﹁q是假命题，∴q为真命题．又p且q为假命题．∴p为假命题．因此x2－x＜6且x∈Z.解得－2＜x＜3且x∈Z.故x＝－1,0,1,2.所以x的取值集合是{－1,0,1,2}．【例3】给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋10恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．思路探究：“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理．[解]对p：设f(x)＝ax2＋ax＋1，由于关于x的不等式ax2＋ax＋10对一切x∈R恒成立，则当a＝0时，即f(x)＝10恒成立；当a≠0时，则函数f(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝a2－4a0，a0，-6-即0a4，∴0≤a4.对q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则有Δ＝1－4a≥0，即a≤14.由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，则0≤a4，a14，∴14a4.(2)若p假q真，则a≥4或a0，a≤14，∴a0.综上可知，所求实数a的取值范围为aa0或14a4.(变条件)将例3中的命题p和命题q分别换为“命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立．命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数”，其它条件不变，求实数a的取值范围．[解]设g(x)＝x2＋2ax＋4.因为关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上，且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－160，所以－2a2.又因为函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，所以3－2a1，即a1.又因为p或q为真，p且q为假，所以p和q一真一假．若p真q假，则－2a2，a≥1，所以1≤a2；若p假q真，则a≤－2或a≥2，a1，所以a≤－2.综上所述，实数a的取值范围是{a|}1≤a2或a≤－2.应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤：1分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；2由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假；-7-3由p，q的真假转化为相应的集合的运算；4求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.1．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3∉{1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C.]2．如果命题“﹁(p或q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题C[“﹁(p或q)”为假命题，那么“p或q”就为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．]3．命题p是真命题，“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么q是________命题．[解析]由于p是真命题，“p或q”是真命题，则q可真也可假，又因“p且q”是假命题，所以q一定是假命题．[答案]假4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则p或q是____________，p且q是________，﹁p是________．[答案]6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数5．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.[解](1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；命题的否命题：若x2－3x－10≠0，则x≠－2且x≠5，为真命题．-8-