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-1-第1章常用逻辑用语1．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．2．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判断．判断充要条件时常见有两种方法，分别是定义法和集合关系法．3．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．4．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．命题关系及其真假判定【例1】判断下列命题的真假：(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若自然数能被6整除，则自然数能被2整除的逆命题；(3)若0＜x＜5，则|x－2|＜3的否命题及逆否命题；(4)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a∈(－2,2)的原命题、逆命题．[解](1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.-2-根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都能被2整除，但不能被6整除．(3)否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．反例：x＝－12≤0，但－12－2＝52＜3.逆否命题：若|x－2|≥3，则x≤0或x≥5.逆否命题为真，因|x－2|≥3⇒x≥5或x≤－1.(4)原命题为假．因为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0，当a＝2时，变为－4＜0，故为假命题．逆命题：若a∈(－2,2)，则不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立．逆命题为真，因为当a∈(－2,2)时，Δ＜0，且a－2＜0.1．四种命题的改写步骤(1)确定原命题的条件和结论．(2)逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．2．命题真假的判断方法：直接法、间接法．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)相等的两个角的正弦值相等；(2)若x2－2x－3＝0，则x＝3.[解](1)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(2)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．充分条件与必要条件【例2】设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－80.若-3-﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解]由x2－4ax＋3a20得(x－3a)(x－a)0，又a0，所以ax3a，由x2－x－6≤0，x2＋2x－80，得2x≤3，﹁p是﹁q的充分不必要条件，即﹁p⇒﹁q，且﹁q﹁p，设A＝{x|﹁p}，B＝{x|﹁q}，则AB，又A＝{x|﹁p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|﹁q}＝{x|x≤2或x3}，则0a≤2，且3a3，所以实数a的取值范围是{a|}1a≤2.判断充分条件、必要条件和充要条件的方法1定义法：①p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件.②pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件.③p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件.④pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2集合法：①若AB，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，同时x∈B是x∈A的必要不充分条件.②若A⊆B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件.③若A＝B，则x∈A是x∈B的充要条件，x∈B是x∈A的充要条件.④若AB且BA，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件.2．(1)给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要不充分条件，则p是﹁q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件-4-(2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由题意，“若q，则﹁p”为真，则其逆否命题“若p，则﹁q”也为真，即p是﹁q的充分不必要条件．(2)由“x＝2且y＝－1”，可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”，反之不成立，故选A.[答案](1)A(2)A全称命题与特称命题【例3】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：(1)对任意实数x，都有x2＋30；(2)每一个指数函数都是增函数；(3)至少有一个自然数小于1；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0.[解](1)是全称命题．当x∈R时，x2≥0，则x2＋30.故该全称命题是真命题．(2)是全称命题．对于指数函数y＝12x，它是减函数，故该全称命题是假命题．(3)是特称命题．显然，自然数0小于1，故该特称命题是真命题．(4)是特称命题．对方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－40，即方程x2＋2x＋2＝0没有实数根，因此该特称命题是假命题．判断全称命题、特称命题及其真假的方法：1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断.2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题；3要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.3．(1)命题“任意x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定为__________．(2)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：①对数函数都是单调函数；-5-②至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；③任意x∈{x|x是无理数}，x2是有理数；④存在x0∈Z，log2x0＞0.(1)[解析]全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定为：存在x0∈R，x20＋4x0＋4＜0.[答案]存在x0∈R，x20＋4x0＋4＜0(2)[解]①全称命题，真命题；②特称命题，真命题；③全称命题，假命题，例如，当x＝42时，x2＝2，不是有理数；④特称命题，真命题．分类讨论思想的应用[探究问题]1．命题“p或q”为真、“p且q”为假包含真假情况有哪几种？[提示]由p或q为真知命题p与命题q至少有一个为真，由p且q为假知命题p与命题q至少有一个为假，由此可知命题p与命题q一真一假．因此需分两种不同情况分类讨论．2．分类讨论的原则和步骤是什么？如何解决复合命题中参数范围的求解问题．[提示](1)分类讨论的分类原则：①要有明确的分类标准；②分类要不重复、不遗漏；③当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．(2)若命题“p或q”“p且q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况分类讨论参数的取值范围．【例4】已知a0且a≠1，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2a|1的解集为R，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．[思路点拨]分p正确且q不正确，p不正确且q正确两种情况求解．[解]由函数y＝ax在R上单调递减知0a1，∴p：0a1.不等式x＋|x－2a|1的解集为R，即y＝x＋|x－2a|在R上恒大于1.-6-又x＋|x－2a|＝2x－2a，x≥2a，2a，x2a.∴函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为2a.故要使解集为R，只需2a1.∴a12.∴q：a12.如果p真q假，则0a≤12；如果p假q真，则a1.故a的取值范围为a0a≤12或a1.将例4中的条件“如果p和q有且只有一个正确”变成“p或q”为真．求a的取值范围．[解]当p为真时，0a1，当命题q为真时可得a12，由p或q为真可知其包含三种情况：①命题p为真，②命题q为真，③命题p与命题q均为真．易知a的取值范围是{a|a0}．分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.