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-1-1．2椭圆的简单性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．(难点)椭圆的简单性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b离心率e＝ca思考：观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？[提示]如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0e1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越接近0，椭圆越扁．()(3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()[答案](1)×(2)×(3)√-2-2．已知椭圆的方程为y29＋x216＝1，则此椭圆的长轴长为()A．3B．4C．6D．8D[该椭圆的标准方程为x216＋y29＝1，故a＝4，故长轴长＝2a＝8.]3．椭圆x225＋y216＝1的离心率是()A.34B.541C.45D.35D[由题意可得a＝5，b＝4，c＝3，故e＝ca＝35.]4．设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．[答案][－5,5]椭圆的简单性质【例1】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解]已知椭圆方程化成标准方程为x216＋y29＝1，可知，此椭圆的焦点在x轴上，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－7，0)和F2(7，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.1．已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离-3-心率．[解]把椭圆的方程化为标准方程为x29＋y24＝1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝53.椭圆性质的简单应用【例2】(1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且焦距为8，则此椭圆的标准方程为__________．思路探究：(1)由椭圆的定义及离心率的值求出a，c，进而得到a2，b2，得到椭圆方程．(2)由题意得到等腰直角三角形，求出b，c值即可．[解析](1)根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率e＝ca＝33，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b.∴b＝c＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，∴椭圆方程为x232＋y216＝1.[答案](1)A(2)x232＋y216＝1-4-利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：1确定焦点位置.2设出相应椭圆的方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程.3根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝ca等.2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝23，则椭圆的标准方程为________．[解析]∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23，∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝23.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.[答案]x29＋y25＝1或x25＋y29＝1椭圆的离心率[探究问题]1．已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且AF1→·AF2→＝0，∠AF2F1＝60°，求椭圆的离心率．[提示]设F1F2＝2c，由题意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝3c，|AF2|＝c.∵|AF1|＋|AF2|＝3c＋c＝2a，即(3＋1)c＝2a，∴e＝ca＝23＋1＝3－1.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．[提示]∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列，-5-∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，即3a2－2ac－5c2＝0，∴(a＋c)(3a－5c)＝0.∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，∴e＝ca＝35.【例3】已知点F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．思路探究：由AB⊥F1F2且△ABF2为正三角形可求出|F1F2|的长度，再利用椭圆的定义求解．[解析]因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.[答案]33本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？[解]如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1.又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝3c.由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率为e＝3－1.-6-求椭圆离心率或其范围的常用方法1定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解.2转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－6，0)、(6，0)D．(0，－6)、(0，6)D[椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23A[椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝32.]3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于________．[解析]∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.[答案]324．离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．[解析]∵椭圆经过(2,0)点，-7-∴(2,0)为椭圆的顶点．若a＝2，则由e＝ca＝32，得c＝3，b＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.若b＝2，则由a2－c2＝4，且ca＝32得a2＝16，∴椭圆的方程为x24＋y216＝1.[答案]x24＋y2＝1或x24＋y216＝15．求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m0)可转化为x21m2＋y214m2＝1.∵m24m2，∴1m214m2，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝1m，短半轴长b＝12m，半焦距长c＝32m.∴椭圆的长轴长2a＝2m，短轴长2b＝1m，焦点坐标为－32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，－1m，0，0，－12m，0，12m.离心率e＝ca＝32m1m＝32.