2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2 2.1 抛物线及其标准方程学案 北师大版

-1-2．1抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(难点)2.会求简单的抛物线的方程．(重点)1．抛物线的定义(1)定义平面内与一个定点F和一条直线l(l不过点F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．(2)焦点定点F叫作抛物线的焦点．(3)准线定直线l叫作抛物线的准线．思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示]不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的四种形式图像标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p0)0，－p2y＝p2思考：抛物线的标准方程y2＝2px(p0)中p的几何意义是什么？[提示]焦点到准线的距离．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．()-2-(2)二次函数的图像是抛物线．()(3)抛物线的焦点到准线的距离是p.()(4)抛物线的开口方向由标准方程的一次项系数的正负确定．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．平面内到直线x＝－1的距离与到点(－1,0)的距离相等的点的轨迹是()A．抛物线B．y轴C．x轴D．直线x＝－1C[其轨迹是过(－1,0)且垂直于直线x＝－1的直线，故选C.]3．若抛物线x2＝ay的焦点坐标为(0,2)，则实数a的值为________．[解析]x2＝ay的焦点坐标为0，a4，故a4＝2，a＝8.[答案]84．抛物线y＝－18x2的准线方程是________．[解析]y＝－18x2的标准方程为x2＝－8y，故该抛物线的准线方程为y＝－－84＝2.[答案]y＝2由抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例1】已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程．(1)y＝6x2；(2)4y2＋7x＝0；(3)x＝2ay2(a≠0)．[解](1)将y＝6x2变形得x2＝16y，故2p＝16，∴p＝112，抛物线开口向上．∴焦点坐标是0，124，准线方程为y＝－124.(2)将4y2＋7x＝0变形为y2＝－74x.∴2p＝74，p＝78，抛物线开口向左．-3-∴焦点为－716，0，准线方程为x＝716.(3)将x＝2ay2化为y2＝12ax.∴焦点坐标为18a，0，准线方程为x＝－18a.1．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p，进而求出p和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．2．一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为Fa4，0，准线方程均为x＝－a4；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F0，a4，准线方程为y＝－a4，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．1．(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0，－2)C．(4,0)D．(－4,0)(2)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．[解析](1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.(2)因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.[答案](1)A(2)2x＝－1求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．思路探究：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p值和开口方向，如不能确定，应分类讨论．[解](1)设抛物线方程为y2＝－2px(p0)或x2＝2py(p＞0)，将点(－3,2)代入方程，得-4-2p＝43或2p＝92，故抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由p2＝2，得2p＝8.∴抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由p2＝4，得2p＝16.∴抛物线方程为y2＝16x.故所求的抛物线的方程为x2＝－8y或y2＝16x.求抛物线标准方程的方法：1定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程.2待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝axa≠0，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝aya≠0.2．已知抛物线的焦点与椭圆x26＋y22＝1的焦点重合，则抛物线的标准方程为________．[解析]椭圆x26＋y22＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)．若抛物线以(－2,0)为焦点，则标准方程为y2＝－8x；若抛物线以(2,0)为焦点，则标准方程为y2＝8x.[答案]y2＝－8x或y2＝8x抛物线定义的应用[探究问题]-5-1．若点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12.能否求点M的轨迹方程？[提示]点M到点F12，0的距离比它到y轴的距离大12，即“点M到点F12，0的距离等于它到直线x＝－12的距离”，可见，点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－12为准线的抛物线，此时，p＝1.故所求的点M的轨迹方程是y2＝2x.2．在探究1问题条件下，已知点A(3,2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．[提示]将x＝3代入y2＝2x，∴y＝±6.∴A在抛物线内部．设M为其上一点，M到准线l：x＝－12的距离为d.则|MA|＋|MF|＝|MA|＋d.由图可知，当MA⊥l时，|MA|＋d最小，最小值是72.即|MA|＋|MF|的最小值是72.此时M点纵坐标为2，代入y2＝2x，∴点M坐标为(2,2)，即为所求．【例3】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值．思路探究：先利用抛物线的定义，把点P到其准线的距离转化成点P到焦点的距离，再用三角形知识求最小值．[解]由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．∴点P到准线x＝－12的距离d＝|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部．连接AF，交y2＝2x于点P′.欲使所求距离之和最小，只需P′与P重合，即A，P，F共线，-6-∴其最小值为|AF|＝0－122＋2－02＝172.(变条件)本例若把“点(0,2)改为(2,1)”，其他条件不变，应如何求解．[解](2,1)在抛物线内部，过(2,1)作准线x＝－12的垂线交抛物线于P1，交准线于P2，P到(2,1)的距离＋P到准线的距离＝|PA|＋|PP3|≥|AP1|＋|P1P2|＝|AP2|＝2－－12＝52.解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4xB[由准线x＝－2及顶点在原点，∴焦点F(2,0)，p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x.]2．经过点(2,4)的抛物线的标准方程是()A．y2＝8xB．x2＝yC．y2＝8x或x2＝yD．无法确定C[把(2,4)代入y2＝ax得16＝2a，∴a＝8.把(2,4)代入x2＝by得4＝4b，∴b＝1.∴所求的抛物线的方程为y2＝8x或x2＝y.]3．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．[解析]由y2＝4x知焦点F(1,0)，准线为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.[答案]24．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x29＋y25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．-7-[解析]由题意知椭圆的右焦点为(2,0)，故p2＝2，∴p＝4，抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.[答案]x＝－25．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．[解]设焦点为F－p2，0，M点到准线的距离为d.则d＝|MF|＝10，即9＋p2＝10.∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．