2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3 3.1 双曲线及其标准方程学案 北师大版

-1-3．1双曲线及其标准方程学习目标：1.了解双曲线的定义和标准方程的推导过程．(难点)2.掌握双曲线的标准方程．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．(难点)1．双曲线的定义(1)定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合．(2)符号表示||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0＜2a＜|F1F2|)．(3)焦点两个定点F1，F2.(4)焦距两个焦点之间的距离，表示为|F1F2|.思考：双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2思考：确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．()-2-(3)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2b2－x2a2＝1(a0，b0)．()(4)在双曲线方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，a2＝b2＋c2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线D[|F1F2|＝10，则P点的轨迹表示以F2为端点的一条射线．]3．双曲线x236－y264＝1的焦点坐标是()A．(0，－10)，(0,10)B．(－10,0)，(10,0)C．(－27，0)，(27，0)D．(0，－27)，(0,27)B[因为a＝6，b＝8，所以c＝a2＋b2＝10，所以该双曲线的焦点坐标为(－10,0)，(10,0)．]4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．[解析]由双曲线的定义可得|PF2|＝7.[答案]7求双曲线标准方程【例1】根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解](1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，-3-将点A(4，－5)代入双曲线方程得25a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，所以1a2－1b2＝1，－22a2－52b2＝1，解得a2＝78，b2＝7.若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理有1a2－1b2＝1，52a2－－22b2＝1，解得a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得-4-m＋n＝1，4m＋25n＝1，解得m＝87，n＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.1．双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．先看焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程．2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．3．与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(－b2λa2)．1．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．[解](1)由已知可设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，解得a2＝16，b2＝9，∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)法一：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为x212－y28＝1.-5-法二：设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(－4k16)，将点(32，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.双曲线定义及应用【例2】已知⊙O1：(x＋2)2＋y2＝4，⊙O2：(x－2)2＋y2＝1，动圆与两定圆都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．思路探究：设动圆半径为r，|MO1|＝2＋r，|MO2|＝1＋r，显然|MO1|－|MO2|＝1，而|O1O2|＝4，显然M点轨迹符合双曲线定义，且为双曲线的一支．[解]当⊙M在某一位置时其半径为r，⊙O1半径r1＝2，⊙O2半径为r2＝1.由⊙M与⊙O1外切得|MO1|＝r1＋r＝2＋r，⊙M与⊙O2外切得|MO2|＝r2＋r＝1＋r，则|MO1|－|MO2|＝1|O1O2|，显然M点轨迹符合双曲线定义且为双曲线靠近O2的右支，以O1、O2为焦点．由此可见2a＝|MO1|－|MO2|＝1⇒a＝12，2c＝|O1O2|＝4⇒c＝2，故b2＝c2－a2＝4－14＝154.∴点M的轨迹为x214－y2154＝1x≥12.利用双曲线的定义解有关轨迹方程的问题时，一定要注意通过定义分析出轨迹方程的类型，求出待定的系数，同时要注意是双曲线的两支还是一支.2．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB－sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．[解]由三角形正弦定理知．∵sinB－sinC＝12sinA.-6-∴|AC|－|AB|＝12|BC|＝4|BC|.∴A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支．∵c＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝12.∴A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．双曲线中的焦点三角形问题[探究问题]1．已知双曲线x216－y220＝1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离是多少？[提示]由双曲线方程可知，a＝4，b＝25，设焦点为F1，F2，且|MF1|＝6，则|MF2|－|MF1|＝±2a＝±8.∴|MF2|＝14或|MF2|＝－2(舍去)，故点M到另一个焦点的距离为14.2．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，请求出|PF1|·|PF2|的值．[提示]由PF1→·PF2→＝0知PF1⊥PF2.则||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝2c2＝20，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16，于是|PF1|·|PF2|＝2.【例3】如图所示，已知双曲线x24－y29＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝120°，求△F1MF2的面积是多少？思路探究：欲求△F1MF2的面积，可考虑用12|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2求解，利用双曲线定义和余弦定理即可解决．[解](1)由双曲线方程知，a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．-7-由双曲线定义知，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos120°，|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2＝(2c)2，r1r2＝12，求得S△F1MF2＝12r1r2sin120°＝33.(变条件，变结论)将本例中的双曲线变为“x2－y212＝1，且|MF1|∶|MF2|＝3∶2”．求△MF1F2的面积．[解]由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2，∵|MF1|∶|MF2|＝3∶2，∴|MF1|＝6，|MF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝213，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝62＋42－522×6×4＝0，∴三角形F1MF2为直角三角形．∴S△MF1F2＝12×6×4＝12.双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有：1定义：|r1－r2|＝2a.2余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ.3面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线-8-B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线C[a＝3时，2a＝610，P的轨迹为双曲线的一支；a＝5时，2a＝10，P的轨迹为一条射线．]2．若动点P到F1(－5,0)与P到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1B.x225－y216＝1C.x216＋y29＝1D.x216－y29＝1D[由题意c＝5,2a＝8，a＝4，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，故P的轨迹方程为x216－y29＝1.]3．设m为常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.[解析]由题意c＝5，且m＋9＝25，∴m＝16.[答案]164．若方程x2k2－4－y25－k＝1表示双曲线，则实数k的取值范围为________．[解析]由(k2－4)(5－k)0得k－2或2k5.[答案](－∞，－2)∪(2,5)5．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．[解]因为椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，所以a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，a2＝4，b2＝5.所以所求的双曲线的标准方程为y24－x25＝1.-9-