2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3 3.2 双曲线的简单性质学案 北师大版选

-1-3．2双曲线的简单性质学习目标：1.掌握双曲线的简单性质．(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2ba叫实半轴长，b叫虚半轴长离心率e＝ca＝a2＋b2a(e1)渐近线y＝±baxy＝±abx思考：(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示](1)不一样．椭圆的离心率0e1，而双曲线的离心率e1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ0时，焦点在x轴上，当λ0时，焦点在y轴上．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±abx.()(2)双曲线y24－x29＝1的实轴长为6.()(3)离心率越大，双曲线的开口就越大．()(4)等轴双曲线的离心率为2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．若双曲线x23＋y2k＝1的离心率为3，则实数k的值为()A．－16B.16C．－6D．6C[由题意可知k0，a＝3，b＝－k，c＝a2＋b2＝3－k，所以e＝ca＝3－k3＝3，得k＝－6.]3．已知双曲线x2－y2＝2，过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为()A．1B．2C．3D．4B[P(2,0)在双曲线的内部，故过点P(2,0)与双曲线有且只有一个交点的直线为过P与双曲线渐近线平行的直线．]4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是________．[解析]由双曲线方程x27－y23＝1易知，a＝7，b＝3，所以c＝a2＋b2＝10.则焦距2c＝210.[答案]210双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．-3-[解]把方程9y2－16x2＝144化为标准方程y242－x232＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54；渐近线方程为y＝±43x.由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1，再确定a，b的值注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.1．(1)双曲线x24－y2＝1的离心率为________；(2)双曲线x2－3y2＋12＝0的渐近线方程为________；(3)双曲线4y2－9x2＝36的顶点坐标为________．[解析](1)由双曲线的方程，得a＝2，b＝1，∴c＝22＋12＝5.故双曲线的离心率e＝ca＝52；(2)双曲线化为标准方程为y24－x212＝1，∴a＝2，b＝23，焦点在y轴上，故其渐近线方程为y＝±abx＝±33x；(3)双曲线化为标准方程为y29－x24＝1，∴a＝3，焦点在y轴上，故其顶点为(0，－3)，(0,3)．[答案](1)52(2)y＝±33x(3)(0，－3)，(0,3)利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．思路探究：由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．-4-[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为y252－x2122＝1.(2)法一：(待定系数法)∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二：(双曲线系法)由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1mn0，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，还可以将方程设为x2a2－y2b2＝λλ≠0，避免讨论焦点的位置.2．(1)已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程；(2)双曲线的离心率等于2，且与椭圆x225＋y29＝1有相同的焦点，求此双曲线的标准方程．[解](1)法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yp＝3.-5-∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.(2)∵椭圆x225＋y29＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，∵c＝4，又双曲线的离心率等于2，即ca＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12.故所求双曲线方程为x24－y212＝1.求双曲线的离心率[探究问题]1．若双曲线焦点在x轴上，且渐近线方程为y＝±32x，请求出双曲线的离心率．[提示]双曲线焦点在x轴上，则ba＝32，∴e＝b2a2＋1＝132.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？[提示]由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a.-6-又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)，∴6a≥2c.∴ca≤3.又e1，∴1e≤3.【例3】设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D．3思路探究：根据双曲线的定义，求出|PF1||PF2|的值．由|PF1||PF2|＝94ab，建立a、b、c三者之间的等量关系求解．[解析]考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24.又已知|PF1|·|PF2|＝94ab，∴94ab＝9b2－4a24，得ba＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋432＝53.[答案]B(变条件)条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝-7-30°”，结果如何？[解]作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1⊥PF2及∠PF1F2＝30°，求出a，c的关系式．设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝3c.又点P在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(3－1)c＝2a，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.1．求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件提供的信息建立参数a、b、c的等式进而转化为离心率e的方程，再解关于e的方程即可．2．求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系，再转化为含e的不等关系求解．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.x225－y29＝1B.x225－y29＝1或y225－x29＝1C.x2100－y236＝1D.x2100－y236＝1或y2100－x236＝1B[由题意：a＝5，b＝3，且焦点不确定，应选B.]2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±49xC．y＝±32xD．y＝±94x-8-C[由题意，焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，故渐近线方程为y＝±32x.]3．已知双曲线x2－y23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．[解析]c2＝1＋3＝4，∴c＝2.焦点坐标为(±2,0)，又渐近线方程为y＝±3x，∴焦点到渐近线的距离为d＝|23|3＋1＝3.[答案]34．已知双曲线C经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y＝3x，则双曲线C的标准方程是________．[解析]设双曲线标准方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，把(1,1)代入得λ＝3×12－12＝2，所以双曲线方程为3x2－y2＝2，即x223－y22＝1.[答案]x223－y22＝15．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如图所示，由于在双曲线中cb，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.