2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末复习课学案 北师大版选修1-1

-1-第2章圆锥曲线与方程1．椭圆的焦点三角形设P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2tanα2.(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.2．抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．3．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．(1)y2＝2px(p0)中，|AB|＝x1＋x2＋p，(2)y2＝－2px(p0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.(3)x2＝2py(p0)中，|AB|＝y1＋y2＋p.(4)x2＝－2py(p0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0(a0，b0)，即y＝±bax；双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y2a2－x2b2＝0(a0，b0)，即y＝±abx.(2)如果双曲线的渐近线为xa±yb＝0时，它的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．-2-圆锥曲线定义的应用【例1】若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．[解析]设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝2＋32＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26.[答案]8－26圆锥曲线的定义是相应标准方程和简单性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.,研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.1．抛物线y2＝2px(p0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()-3-A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列C．x1，x3，x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列A[如图，AA′⊥l，BB′⊥l，CC′⊥l.垂足分别为A′、B′、C′.由抛物线定义：|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2，∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3.∴选A.]圆锥曲线的性质【例2】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e.思路探究：由F1到直线AB的距离为b7，建立a、b、c之间的关系式，再转化为a，c之间的关系式，进而求解离心率e的值．[解]由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝ba，故AB所在的直线方程为y－b＝bax，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝|－bc＋ab|a2＋b2＝b7，-4-∴7·(a－c)＝a2＋b2.又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8ca2－14ca＋5＝0，∴8e2－14e＋5＝0.∴e＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e＝12.1．牢记标准方程中各参数的意义：(1)在椭圆中，a—长半轴长，b—短半轴长，c—半焦距；(2)在双曲线中，a—实半轴长，b—虚半轴长，c—半焦距；(3)在抛物线中，p—焦点到准线的距离．2．牢记圆锥曲线中的范围的确定，对称性的确定，对称中心的确定以及各主要线段长的求法．3．离心率是圆锥曲线重要的性质之一，求离心率的方法主要有两种：(1)定义法：根据条件确定a，c的值后，用公式e＝ca求出；(2)关系式法：根据条件建立关于a，b，c的齐次等式后，转化为关于e的关系式求解．4．渐近线是双曲线独有的性质，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是xa±yb＝0；渐近线xa±yb＝0对应的双曲线方程是x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．(1)已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D.5-5-(1)D(2)A[(1)由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(±3m2－5n2，0)，双曲线焦点(±2m2＋3n2，0)，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，又∵双曲线渐近线为y＝±6·|n|2|m|·x，∴代入m2＝8n2，|m|＝22|n|，得y＝±34x.(2)A.]圆锥曲线的定值与最值问题[探究问题]1．直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点，若OA→·OB→＝－4.求证：直线l必过定点，并求出该定点．[提示]设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.因为OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又OA→·OB→＝－4，∴b2－4b＝－4，解得b＝2，故直线过定点(2,0)．2．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．[提示]设B(y21，y1)，C(y22，y2)，-6-则kBC＝y2－y1y22－y21＝1y2＋y1.∵kAB＝y1－2y21－4＝1y1＋2，kAC＝y2－2y22－4＝1y2＋2，由题意得kAB＝－kAC，∴1y1＋2＝－1y2＋2，则y1＋y2＝－4，则kBC＝－14，为定值．【例3】已知F1、F2为椭圆x2＋y22＝1的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．思路探究：设直线y＝kx＋1，利用参数k表示出△ABF2面积的目标函数，再求目标函数的最大值．[解]由题意知直线AB的斜率存在，设为k，又|F1F2|＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则xA＋xB＝－2kk2＋2，xA·xB＝－1k2＋2，∴|xA－xB|＝8k2＋1k2＋2.S△ABF2＝12|F1F2|·|xA－xB|＝22×k2＋1k2＋2＝22×1k2＋1＋1k2＋1≤22×12＝2.当且仅当k2＋1＝1k2＋1，即k＝0时，△ABF2有最大面积为2.(变条件，变结论)将例3中的条件变为“过抛物线y2＝2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．”(1)试证明直线AB过定点；(2)试求S△AOB的最小值．[解](1)证明：设直线AB的方程为y＝k(x－a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程y2＝2px，y＝kx－a，消去x得ky2－2py－2pak＝0，-7-则y1y2＝－2pa.又OA⊥OB.∴y1y2＝－x1x2.由方程组消去y，得k2x2－(2k2a＋2p)x＋k2a2＝0，则x1x2＝a2.因此，a2＝2pa.∴a＝2p.故直线AB过定点(2p,0)．(2)由(1)知：AB恒过定点M(2p,0)．∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝12|OM|(|y1|＋|y2|)≥p(2|y1y2|)．又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(y1y2)2＝4p2x1x2.又∵y1y2＝－x1x2，于是|y1y2|＝4p2.故S△AOB的最小值为4p2.1．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．2．圆锥曲线中的最值问题(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值．转化与归纳思想【例4】已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)．-8-(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．思路探究：(1)利用平面向量知识求解．(2)设MN的中点为P，由|AM|＝|AN|可得AP⊥MN，进而kAP＝－1k，故联立直线y＝kx＋m与椭圆方程，利用根与系数关系并结合Δ0可求得m的取值范围．[解](1)由题意，得a＋3b＝(x＋3，3y)，a－3b＝(x－3，3y)，∵(a＋3b)⊥(a－3b)，∴(a＋3b)·(a－3b)＝0，即(x＋3)(x－3)＋3y·3y＝0.化简得x23＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为x23＋y2＝1.(2)由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ0，即m23k2＋1.①(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2mm2，解得0m2，由②得k2＝2m－130，解得m12，-9-故所求的m的取值范围是12，2.(ⅱ)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m23k2＋1，解得－1m1.∴当k≠0时，m的取值范围是12，2，当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．化归是中学数学最基本的思想方法，数学研究的过程即“化归与等价转化”的过程，数学问题的解答过程亦即“化归与等价转化”的过程，它是一种数学思想，也是一种数学能力.化归与等价转化的原则：①熟悉化原则；②简单化原则；③正难则反原则.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.3．求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线方程．[解]设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝8x1，y22＝8x2.①②由x1＋x22＝1，y1＋y22＝－1，得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2.③kAB＝y2－y1x2－x1，④由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2