2019-2020学年高中数学 第3章 推理与证明 4 反证法学案 北师大版选修1-2

-1-§4反证法学习目标核心素养1.了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)3．掌握反证法证明的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点)1.通过反证法的概念及思考过程的学习，提升逻辑推理的核心素养．2．通过用反证法证明数学问题，培养数学建模和逻辑推理的核心素养.1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且﹁q”为假→“若p则q”为真1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的有()①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③C[根据反证法的定义，①②③可以作为条件使用．]2．用反证法证明“如果ab，那么3a3b”，则假设的内容应是()A．如果ab，那么3a＝3bB．如果ab，那么3a3bC．如果ab，那么3a＝3b且3a3b-2-D．如果ab，那么3a＝3b或3a3bD[根据反证法的定义，假设内容应为D.]3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．[答案]a≠1或b≠1反证法证明否定命题【例1】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．思路点拨：第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋12n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N＋，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．否定词和用反证法证题特点1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面-3-比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在1．已知方程f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．[证明]假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x00，x0≠－1且ax0＋x0－2x0＋1＝0，所以ax0＝－x0－2x0＋1.又当x00时，0ax01，故0－x0－2x0＋11，即0－1＋3x0＋11,13x0＋12，解得12x02.这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．用反证法证明“至多”“至少”问题【例2】已知x，y，z均大于零，求证：x＋4y，y＋4z，z＋4x这三个数中至少有一个不小于4.思路探究：本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．[证明]假设x＋4y，y＋4z，z＋4x都小于4，即x＋4y4，y＋4z4，z＋4x4，于是得x＋4y＋y＋4z＋z＋4x12，-4-而x＋4y＋y＋4z＋z＋4x＝x＋4x＋y＋4y＋z＋4z≥2x·4x＋2y·4y＋2z·4z＝12，这与x＋4y＋y＋4z＋z＋4x12矛盾，因此假设错误，即x＋4y，y＋4z，z＋4x中至少有一个不小于4.把本例改为“若a≥－1，则三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．”怎样证明？[提示]假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于0，即4a2－4－4a＋30，a－12－4a20，2a2＋4×2a0，⇒－32a12，a13或a－1，－2a0，⇒－32a－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．用反证法证明“至少”“至多”问题注意点1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q﹁p且﹁q至多有n个至少有n＋1个p且q﹁p或﹁q-5-2．若x0，y0，且x＋y2，求证：1＋yx与1＋xy至少有一个小于2.[证明]假设1＋yx与1＋xy都不小于2，即1＋yx≥2，1＋xy≥2.∵x0，y0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，这与已知中x＋y2矛盾，∴假设不成立，原命题成立．故1＋yx与1＋xy至少有一个小于2.用反证法证明“唯一性”命题[探究问题]1．用反证法证明数学命题的步骤是什么？[提示](1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．2．如何证明两条相交直线有且只有一个交点？[提示]假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．【例3】用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．思路点拨：假设过点A有两条直线与直线a平行→由平行公理推出矛盾→命题得证[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有另外一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，∴b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设不成立，所以过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．用反证法证明唯一性命题的注意点1．当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时，反设其结论易于导出矛盾，因此可用反证法证明该类命题．2．用反证法证明唯一性命题时，如果其结论的反面呈现多样性，必须罗列出所有可能的-6-各种情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．3．证明“有且只有”等形式的问题时，需要证明两个方面，即证明存在性和唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)0，f(b)0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设m为f(x)的一个零点，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n(n≠m)，则f(n)＝0.因为f(x)在[a，b]上单调递增，所以若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾．因此假设不成立，故f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．1．宜用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题等．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤分析→分清命题的条件和结论↓反设→做出与命题结论相矛盾的假设↓归谬→由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果↓结论→断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1．判断正误(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．()[提示](1)正确．-7-(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．[答案](1)√(2)×(3)×2．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0D[不全为0即至少有一个不为0，故选D.]3．命题“△ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()A．abB．a≤bC．a＝bD．a≥bB[“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.]4．已知非零实数a，b，c成等数差列，且a≠c.求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．[证明]假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c＝a＋cac，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴b＝a＋c2，∴4a＋c＝a＋cac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.这与a≠c矛盾，故假设错误．∴1a，1b，1c不可能成等差数列．