2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式 第2课时 运用平均值

-1-第2课时运用平均值不等式求最大(小)值学习目标：1.能利用平均值不等式求简单的最大(小)值．(重点)2.掌握建立不等式模型，解决实际问题中的最值．(难点)教材整理两个重要结论阅读教材P10～P14，完成下列问题．1．已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P；(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值S24.2．若a，b，c均为正数，(1)如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；(2)如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．填空：(1)若x0时，1x＋x的最小值是________．(2)当x2＋2x2＋1取得最小值时，x取________．[解析](1)x0时，x＋1x≥2，故最小值为2.(2)x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2，这时x＝0.[答案](1)2(2)0利用平均值不等式求最大(小)值【例1】设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为__________．[精彩点拨]由条件消去y，然后利用平均值不等式求最小值．[自主解答]由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，-2-∴y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14xz＋9zx＋6≥142xz·9zx＋6＝3.当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.[答案]3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题．1．函数y＝x＋1x2＋5x＋6(x－1)的最大值是______．[解析]y＝x＋1x＋12＋3x＋1＋2＝1x＋1＋2x＋1＋3.∵x－1，∴x＋10.因此x＋1＋2x＋1≥22，x＋1＋2x＋1＋3≥3＋22.当且仅当x＋1＝2x＋1，x＝2－1时等号成立．∴0y≤13＋22＝3－22(x＝2－1时取等号)．故ymax＝3－22.[答案]3－22灵活运用条件求最值【例2】已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[精彩点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值．[自主解答]法一：∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.-3-当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x1，y9，而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16.所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先，看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．已知x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．[解]∵x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＝1，∴1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝1＋2yx＋xy＋2≥3＋22.当2yx＝xy，即x＝2y，也就是y＝12＋2＝1－22，x＝2－1时等号成立，故1x＋1y的最小值为3＋22.-4-用平均值不等式求解应用题[探究问题]解不等式实际应用题的解题思路是怎样的？[提示]解不等式实际应用题的解题思路实际问题――――――――――――→建模审题、抽象概括、转化.