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-1-第1章常用逻辑用语1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p(2)四种命题之间的关系如图所示．(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，q_p；③必要不充分条件：q⇒p，p_q；④既不充分也不必要条件：p_q且q_p．3．简单的逻辑联结词与复合命题及其真假的判断(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得复合命题：p且q，p或q，p．(3)命题p且q中p、q有一假为假，p或q有一真为真，p与p必定是一真一假．-2-4．量词与含有一个量词的命题否定(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词．(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词．(3)含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题．(4)对全称(特称)命题进行否定的两步操作①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．②否定结论：对原命题的结论进行否定．提醒：若命题p是真命题，则p是假命题；若命题p是假命题，则p是真命题．四种命题及其真假【例1】(1)给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lgx2＝0，则x＝－1”的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3B[对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.](2)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．①当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；②能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．[解]①将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)②将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：-3-逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)1．四种命题的改写方法先明确原命题的条件p与结论q，把原命题写成“若p，则q”的形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提．2．命题真假的判断方法1．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x1，则x－10”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”A．1B．2C．3D．4C[①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．]充分必要条件的判断【例2】(1)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)0D．2x1(2)求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”．[思路探究](1)借助必要不充分条件的概念作出判断．(2)分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”．-4-(1)B[∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．](2)证明必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝－sinxcosφ－cosxsinφ，整理得2cosxsinφ＝0，由于上式对任意x∈R都成立，所以sinφ＝0，即f(0)＝sinφ＝0.充分性：由f(0)＝0，得sinφ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝－sinxcosφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sinxcosφ，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数．综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”．1.(变结论)写出一个“使|x|＝x成立的一个充分不必要条件”．[解]∵|x|＝x⇔x≥0，∴使|x|＝x成立的一个充分不必要条件，可以是x1.(答案不唯一)2.(变条件)把本例(2)的条件换为：求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”．[证明]必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝sinxcosφ＋cosxsinφ整理得2sinxcosφ＝0.由于上式对任意x∈R都成立，所以cosφ＝0，即|f(0)|＝|sinφ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sinφ|＝1，∴cosφ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝cosxsinφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝cosxsinφ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，-5-综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”．充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“q⇒p”，即“若q⇒p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．含有逻辑联结词、量词的命题【例3】(1)命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．任意x∈R，|x|＋x20B．任意x∈R，|x|＋x2≤0C．存在x0∈R，|x0|＋x200D．存在x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)已知命题p：任意x∈R，2x3x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p且qB．(p)且qC．p且(q)D．(p)且(q)(1)C(2)B[(1)全称命题的否定是特称命题，即命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“存在x0∈R，|x0|＋x200”．故选C.(2)由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－10，h(1)＝10，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1，1)内有解，∴q为真命题，∴(p)且q为真命题，故选B.]正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断，其步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假．3．已知命题p：x＝π4，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}，下列结论：(1)命题p且q是真命题；(2)命题p且(q)是假命题；(3)命题(p)或q是真命题；(4)命题(q)或(p)是假命题，其中正确的是()A．(2)(3)B．(1)(2)(4)-6-C．(1)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4)D[命题p：x＝π4，使tanx＝1正确，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}也正确，所以(1)命题p且q是真命题；(2)命题p且(q)是假命题；(3)命题(p)或q是真命题；(4)命题(q)或(p)是假命题，故选D.]等价转化思想的应用【例4】已知c0，设p：函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的；q：不等式x＋|x－2c|1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．[解]函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的⇔0c1.不等式x＋|x－2c|1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.∵x＋|x－2c|＝2x－2c，x≥2c，2c，x2c，∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，∴2c1，得c12.如果p真q假，则0c1，0c≤12，解得0c≤12；如果q真p假，则c≥1，c12，解得c≥1.∴c的取值范围为0，12∪[1，＋∞)．等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．[跟踪训练]4．已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x1＋m(m0)．(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．[解](1)由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.-7-命题q：1－m≤x1＋m(m0)．∵p是q的充分条件，∴[－1，5]⊆[1－m，1＋m)，∴1－m≤－1，51＋m，解得m4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x6.∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴命题p，q为一真一假．当p真q假时，可得－1≤x≤5，x－4或x≥6，解得x∈.当q真p假时，可得x－1或x5，－4≤x6，解得－4≤x－1或5x6.故实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5，6)．