2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 2 排列（第1课时）排列与排列数公式学案 北师大版

-1-第1课时排列与排列数公式学习目标核心素养1．理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．(重点)2．能用枚举法，写出一个排列问题的所有的排列．(易混点)3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．(难点)通过对排列和排列数公式的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1．排列(1)一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．(2)排列相同的条件：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．思考1：怎样判断一个问题是排列问题？[提示]关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，否则不是．思考2：若两个排列的元素相同，那么这两个排列是相同的排列吗？[提示]不是，因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．2．排列数与排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法Amn排列数公式乘积式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式Amn＝n！n－m！性质Ann＝n！，0！＝1备注n，m∈N＋，m≤n思考3：排列与排列数有何区别？[提示]“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Amn只表示排列数，而不表示具体的排列．-2-1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有()A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．]3．90×91×92×…×100可以表示为()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100B[由排列数公式得原式为A11100，故选B.]4．A24＝________，A33＝________.126[A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6.]排列的概念问题【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排-3-列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二取出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．给出以下问题：(1)从3,5,7,9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数，有多少个不同的值？(2)从0到9这十个数字中任取两个数，组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？其中是排列问题的是________(只填序号)．(1)(2)[(1)是．对数值与底数和真数的取值不同有关系，与顺序有关．同理(2)也是排列问题．]排列的列举问题【例2】写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分-4-类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2．A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法．[解]因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．排列数公式的推导及应用[探究问题]两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．1．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示]从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？[提示]A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出Amn的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示]Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．-5-全排列数：Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！＝AnnAn－mn－m.【例3】计算下列各题：(1)A310；(2)A59＋A49A610－A510；(3)Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1.思路探究：对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．[解](1)A310＝10×9×8＝720.(2)A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝610×4＝320.(3)Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1＝n－1！[n－1－m－1]！·(n－m)！·1n－1！＝1.排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．3．若Am10＝10×9×…×5，则m＝________.6[由排列数公式，得m＝6.]4．计算：2A59＋3A699！－A610＝________.1[法一：原式＝2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1－10×9×…×5＝2＋124×3×2－10＝1414＝1.-6-法二：原式＝2×9！4！＋3×9！3！9！－10！4！＝24！＋33！1－104！＝2＋3×44！－10＝1.]1．判断一个具体问题是否为排列问题的方法2.排列数公式的应用(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．1．设a∈N＋，且a27，则(27－a)(28－a)·…·(34－a)等于()A．A827－aB．A27－a34－aC．A734－aD．A834－aD[8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.]2．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A．1B．2C．3D．4B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．]3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．120[利用排列的概念可知不同的分配方法有A55＝120种．]4．已知A2n＝7A2n－4，则n的值为________．7[由排列数公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N＋.∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝103(舍)．]5．从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？[解]由题意作“树形图”，如下．-7-故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．