2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 5.1 二项式定理学案 北师大版选修2-3

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-1-5.1二项式定理学习目标核心素养1.能用计数原理证明二项式定理.(难点)2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.(难点)通过对二项式定理的学习,培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.二项式定理二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N+)叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作(a+b)n的二项展开式二项式系数各项的系数Crn(r=0,1,2,…,n)叫作二项式系数二项展开式的通项式中Crnan-rbr叫作二项展开式的通项在二项式定理中,若a=1,b=x,则(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+…+Crnxr+…+xn.思考1:二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项式系数是指C0n,C1n,…,Cnn,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.思考2:二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同?[提示]不同.(a+b)n展开式中第k+1项为Cknan-kbk,而(b+a)n展开式中第k+1项为Cknbn-kak.1.(x+1)n的展开式共有11项,则n等于()A.9B.10C.11D.12B[由二项式定理的公式特征可知n=10.]2.(y-2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()A.C68B.C58(-2)5C.C58D.C68(-2)6C[由题意可知:Tk+1=Ck8y8-k(-2x)k=Ck8·(-2)kxky8-k,当k=5时,二项式系数为C58.]3.x2-2x35展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-40-2-C[由题意可知:Tr+1=Cr5(x2)5-r-2x3r=(-2)rCr5x10-5r,令10-5r=0,得r=2,即展开式中的常数项为(-2)2C25=40.]4.(x-2y)7的展开式中的第4项为()A.-280x4y3B.280x4y3C.-35x4y3D.35x4y3A[(x-2y)7的展开式中的第4项为T4=C37x4(-2y)3=(-2)3C37x4y3=-280x4y3.]二项式定理的正用和逆用【例1】(1)求3x+1x4的展开式;(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).[解](1)法一:3x+1x4=C04(3x)4+C14(3x)3·1x+C24(3x)2·1x2+C34(3x)·1x3+C44·1x4=81x2+108x+54+12x+1x2.法二:3x+1x4=3x+14x2=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+12x+1x2.(2)原式=C05(x-1)5+C15(x-1)4+C25(x-1)3+C35(x-1)2+C45(x-1)+C55(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.二项式定理的双向功能1正用:将二项式a+bn展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.2逆用:将展开式合并成二项式a+bn的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项-3-系数的规律.1.1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n+…+(-2)nCnn的值为()A.1B.-1C.(-1)nD.3nC[1-2C1n+4C2n-8C3n+16C4n+…+(-2)nCnn=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.]2.求x2+1x2-23的展开式.[解]x2+1x2-23=x-1x6=1x6(x2-1)6=1x6[C06(x2)6-C16(x2)5+C26(x2)4-C36(x2)3+C46(x2)2-C56x2+C66]=1x6(x12-6x10+15x8-20x6+15x4-6x2+1)=x6-6x4+15x2-20+15x2-6x4+1x6.二项式系数与项的系数【例2】已知二项式3x-23x10.(1)求展开式第4项的二项式系数;(2)求展开式第4项的系数;(3)求第4项.[解]3x-23x10的展开式的通项是Tk+1=Ck10(3x)10-k-23xk=Ck10310-k-23k·x10-3k2(k=0,1,2,…,10).(1)展开式的第4项(k=3)的二项式系数为C310=120.(2)展开式的第4项的系数为C31037-233=-77760.(3)展开式的第4项为T4=T3+1=-77760x.区分二项式系数与某一项系数1二项式系数都是组合数Cknk∈{0,1,2,…,n},它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.-4-2第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Ckn.例如,在1+2x7的展开式中,第四项是T4=C3717-32x3,其二项式系数是C37=35,而第四项的系数是C3723=280.3.已知x-2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值;(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.[解](1)因为T3=C2n(x)n-2-2x2=4C2nxn-62,T2=C1n(x)n-1-2x=-2C1nxn-32,依题意得4C2n+2C1n=162,所以2C2n+C1n=81,所以n2=81,n∈N+,故n=9.(2)设第k+1项含x3项,则Tk+1=Ck9(x)9-k-2xk=(-2)kCk9x9-3k2,所以9-3k2=3,k=1,所以第二项为含x3的项为T2=-2C19x3=-18x3.二项式系数为C19=9.求展开式中的特定项[探究问题]1.如何求x+1x4展开式中的常数项.[提示]利用二项展开式的通项Cr4x4-r·1xr=Cr4x4-2r求解,令4-2r=0,则r=2,所以x+1x4展开式中的常数项为C24=4×32=6.2.(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?[提示](a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.3.如何求x+1x(2x+1)3展开式中含x的项?-5-[提示]x+1x(2x+1)3展开式中含x的项是由x+1x中的x与1x分别与(2x+1)3展开式中常数项C33=1及x2项C1322x2=12x2分别相乘再把积相加得x·C33+1x·C13(2x)2=x+12x=13x.即x+1x(2x+1)3展开式中含x的项为13x.【例3】已知在(3x-33x)n的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.思路探究:写出通项Tr+1→令r=5,x的指数为零→1求出n值→修正通项公式→2求x2项的系数→考察x指数为整数→分析求出k值→3写出有理项[解]通项公式为Tr+1=Crnxn-r3(-3)rx-r3=Crn(-3)rxn-2r3.(1)∵第6项为常数项,∴r=5时,有n-2r3=0,即n=10.(2)令10-2r3=2,得r=12(10-6)=2,∴所求的系数为C210(-3)2=405.(3)由题意得,10-2r3∈Z,0≤r≤10,r∈Z.令10-2r3=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-32k.∵r∈Z,∴k应为偶数,k=2,0,-2,即r=2,5,8,-6-所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C210(-3)2x2,C510(-3)5,C810(-3)8x-2.即405x2,-61236,295245x-2.求二项展开式的特定项的常用方法1对于常数项,隐含条件是字母的指数为0即0次项;2对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;3对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.4.(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是________.(2)若x-ax26展开式的常数项为60,则常数a的值为________.(1)207(2)4[(1)x5应是(1+x)10中含x5项、含x2项分别与1,-x3相乘的结果,∴其系数为C510+C210(-1)=207.(2)x-ax26的展开式的通项是Tk+1=Ck6x6-k·(-a)kx-2k=Ck6x6-3k(-a)k,令6-3k=0,得k=2,即当k=2时,Tk+1为常数项,即常数项是C26a,根据已知得C26a=60,解得a=4.]1.注意区分项的二项式系数与系数的概念.2.要牢记Cknan-kbk是展开式的第k+1项,不要误认为是第k项.3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为特定值.1.化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得()A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5A[原式=(x-1+1)4=x4.]2.已知x-1x7的展开式的第4项等于5,则x等于()-7-A.17B.-17C.7D.-7B[T4=C37x4-1x3=5,∴x=-17.]3.x2-1xn的展开式中,常数项为15,则n的值为()A.3B.4C.5D.6D[展开式的通项为Tk+1=Ckn(x2)n-k·(-1)k·1xk=(-1)kCknx2n-3k.令2n-3k=0,得n=32k(n,k∈N+),若k=2,则n=3不符合题意,若k=4,则n=6,此时(-1)4·C46=15,所以n=6.]4.在ax6+bx4的二项展开式中,如果x3的系数为20,那么ab3=________.5[Tr+1=Cr4a4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,则4ab3=20,∴ab3=5.]5.求x3+23x25的展开式的第三项的系数和常数项.[解]T3=C25(x3)323x22=C25·49x5,所以第三项的系数为C25·49=409.通项Tk+1=Ck5(x3)5-k23x2k=23k·Ck5x15-5k,令15-5k=0,得k=3,所以常数项为T4=C35(x3)2·23x23=8027.

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