2019-2020学年高中数学 第1章 推理与证明 2 2.2 分析法学案 北师大版选修2-2

-1-2.2分析法学习目标核心素养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点)2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①AB，只需使②CD.这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．]2．欲证2－36－7，只需证()A．(2＋7)2(3＋6)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2－3)2(6－7)2D．(2－3－6)2(－7)2A[欲证2－36－7，只需证2＋73＋6，只需证(2＋7)2(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案]a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0-2-应用分析法证明不等式【例1】已知ab0，求证：a－b28aa＋b2－aba－b28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明]要证a－b28aa＋b2－aba－b28b，只需证a－b28aa－b22a－b28b.∵ab0，∴同时除以a－b22，得a＋b24a1a＋b24b，同时开方，得a＋b2a1a＋b2b，只需证a＋b2a，且a＋b2b，即证ba，即证ba.∵ab0，∴原不等式成立，即a－b28aa＋b2－aba－b28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2．[证明]要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，即证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，-3-即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋1a2＋22a＋1a＋4，只需证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，求证：fx＋12为偶函数．思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明]要证函数fx＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，而fx＋12＝ax2＋(a＋b)x＋14a＋12b＋c，其对称轴为x＝－a＋b2a，因此只需证－a＋b2a＝0，即只需证a＝－b，又f(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，其对称轴为x＝－2a＋b2a，f(x)的对称轴为x＝－b2a，由已知得x＝－2a＋b2a与x＝－b2a关于y轴对称，所以－2a＋b2a＝－－b2a，得a＝－b成立，故fx＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需-4-知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tanα2＋tanα＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．[证明]要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证cosα－sinαcosα＋sinα＝3，只需证1－tanα1＋tanα＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－12.∵1－tanα2＋tanα＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1．∴tanα＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用[探究问题]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．[证明]由已知条件得2a＝x＋y，b2＝cx，c2＝by，消去x，y得2a＝b2c＋c2b，且a0，b0，c0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥b＋1c＋1，因b＋1c＋1≤b＋1＋c＋12，-5-只需证a＋1≥b＋1＋c＋12，即证2a≥b＋c.由于2a＝b2c＋c2b，故只需证b2c＋c2b≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[证明]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2accosB，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，-6-∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点)表述形式形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．()(1)×(2)×(3)√[(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．]2．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值决定-7-C[当a＝1时，P＝1＋22，Q＝2＋5，PQ，故猜想当a≥0时，PQ.证明如下：要证PQ，只需证P2Q2，只需证2a＋7＋2aa＋72a＋7＋2a＋3a＋4，即证a2＋7aa2＋7a＋12，只需证012．∵012成立，∴PQ成立．]3．设a0，b0，c0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．9[因为a＋b＋c＝1，且a0，b0，c0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．]4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBcosA.证明：a＋b＝2c.[证明]由题意知2sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.从而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.命题得证．