2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 3 计算导数学案 北师大版选修2-2

-1-§3计算导数学习目标核心素养1．理解导数的概念．(重点)2．会用导数定义求简单函数的导数．(难点)3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数．(重点)1．通过导数概念的学习，提升学生的数学抽象的核心素养.2．通过求简单函数的导数的学习，培养学生数学运算的核心素养.1．导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a0，a≠1)y′＝axln_a，特别地(ex)′＝exy＝logax(a0，a≠1)y′＝1xlna，特别地(lnx)′＝1xy＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝tanxy′＝1cos2xy＝cotxy′＝－1sin2x[提醒]特殊的幂函数y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数均可由“y＝xα时y′＝αxα－1”得到，即(x)′＝1，(x2)′＝2x，1x′＝－1x2，(x)′＝12x.1．给出下列命题：-2-①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4C[对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.]2．若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.2x－2[∵f(x)＝x2－2x＋1，∴ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝2x＋Δx－2．故f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx－2)＝2x－2．]3．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.10ln10[f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.思路探究：首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解](1)y′＝(x12)′＝12x11．(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(3x)′＝3xln3.(4)y′＝(log5x)′＝1xln5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．-3-2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.3x2－1xln3[∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝1xln3，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－1xln3.]利用导数公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．思路探究：(1)先求s′(t)，再求s′π3.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解](1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴vπ3＝cosπ3＝12.即质点在t＝π3时的速度为12.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在π4，22处的导数．-4-[解](1)∵f′(x)＝13x′＝(x－13)′＝－13x－43＝－133x4，∴f′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′π4＝－sinπ4＝－22.导数公式的应用[探究问题]1．函数f(x)＝c与f(x)＝xα、f(x)＝sinx与f(x)＝cosx、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数公式有什么特点和联系吗？[提示](1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna的特例．(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(lnx)′＝1x是(logax)′＝1xlna的特例．2．应用导数解决有关切线问题的主要关注点有哪些？[提示](1)涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．【例3】求过曲线f(x)＝cosx上一点Pπ3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．思路探究：求导数f′x0→计算f′π3→所求直线斜率k＝－1f′π3→利用点斜式写出直线方程[解]因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点Pπ3，12的-5-切线斜率为f′π3＝－sinπ3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y－12＝233x－π3，即y＝233x－239π＋12.求曲线方程或切线方程时的三点注意1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．3．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．278[设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a，①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)·(x－t)．②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝32.分别将t＝0或t＝32代入①式，得k＝－a或k＝274－a，由题意得它们互为相反数得a＝278.]1．求导公式是导数计算的基础，要注意公式之间的联系，加强记忆与理解．2．几点重要结论：(1)奇函数的导数是偶函数．-6-例如，y＝sinx是奇函数，y′＝cosx是偶函数．(2)偶函数的导数是奇函数．例如，y＝x2是偶函数，y′＝2x是奇函数．(3)周期函数的导数还是周期函数．例如，y＝sinx的最小正周期是2π，y′＝cosx的最小正周期也是2π.3．用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式．如y＝1x4可以写成y＝x－4，y＝5x3可以写成y＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝14，则α等于()A.13B.12C.18D.14D[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的有________．①③[对于①，y′＝0－x3′x6＝－3x2x6＝－3x4，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．]3．曲线f(x)＝14x3在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________．-7-－34[f′(x)＝x－34′＝－34x－74，∴f′(1)＝－34＝k，∴倾斜角的正切值为－34.]4．若质点P的运动方程是s(t)＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．[解]∵s′(t)＝(3t2)′＝(t23)′＝23t－13，∴s′(8)＝23×8－13＝23×2－1＝13，∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为13m/s.