2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐

-1-2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；(2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为C(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ＜π2圆心为Cr，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点A(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2-2-过点Aa，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)过点A(a,0)，且与极轴成α角的直线的极坐标方程ρsin(α－θ)＝asin_α(0＜θ＜π)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcosθ＝2与直线ρsinθ＝2互相平行．()(3)ρ＝cosθ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcosθ＝2表示直线x＝2，ρsinθ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cosθ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，即tanθ＝2.(3)ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tanθ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1-3-教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－ecosθ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．求简单图形的极坐标方程【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点－2，sin5π6是否在这个圆上．[精彩点拨]解答本题先根据题意画出草图，设点M(ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答](1)如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得OMsin∠OAM＝OAsin∠OMA，-4-即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，所以ρsinπ4－θ＝22，即ρsinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝22，化简，得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连结AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos3π2－θ，∴ρ＝－4sinθ.经验证，点O(0,0)，A4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin5π6＝－2，∴点－2，sin5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．-5-1．(1)求过A2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．[解](1)如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)．∵A2，π4，∴|MH|＝2·sinπ4＝2，在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，所以过A2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝2，其中0θπ.(2)设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0，所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.化曲线的直角坐标方程为极坐标方程【例2】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程．(1)射线y＝3x(x≤0)；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．[精彩点拨]将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入―→极坐标方程[尝试解答](1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入y＝3x，得ρsinθ＝3ρcosθ，∴tanθ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.-6-又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入整理得ρ＝2cosθ.[答案]ρ＝2cosθ化曲线的极坐标方程为直角坐标方程【例3】化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．(1)ρcosθ＝2；(2)ρ＝2cosθ；(3)ρ2cos2θ＝2；(4)ρ＝11－cosθ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcosθ＝xρsinθ＝y，故两直线垂直．[答案]垂直-7-5．求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解]设P(ρ，θ)为圆C上任意一点(不与O，A点重合)，圆C交极轴于另一点A，则|OA|＝8.在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|cosθ，即ρ＝8cosθ，经验证点O，点A也满足该等式，所以ρ＝8cosθ.这就是圆C的极坐标方程．