2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 4 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数

-1-4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则学习目标核心素养1．理解导数的四则运算法则．(重点)2．能够利用导数的四则运算法则求导．(重难点)通过利用导数的四则运算法则求导，培养了学生的数学运算的核心素养.1．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．2．导数的乘法与除法法则一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x)．1．函数y＝x＋1x的导数是()A．1－1x2B．1－1xC．1＋1x2D．1＋1xA[∵y＝x＋1x，∴y′＝x＋1x′＝x′＋1x′＝1－1x2.]2．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.133C.103D.163C[由f(x)＝ax3＋3x2＋2，得f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，故a＝103.]3．若f(x)＝lnxx，则f′(x)＝________.-2-1－lnxx2[f′(x)＝lnxx′＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.]导数的四则运算【例1】(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是________；(2)函数y＝2xcosx－3xlnx的导数是________；(3)函数y＝x－1x＋1的导数是________．思路探究：仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导．(1)y′＝18x2－8x＋9(2)y′＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3(3)y′＝2x＋12[(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(2)y′＝(2xcosx－3xlnx)′＝(2x)′cosx＋2x(cosx)′－3[x′lnx＋x(lnx)′]＝2xln2cosx－2xsinx－3·lnx＋x·1x＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3.(3)y′＝x－1x＋1′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.]求导的两点要求1．先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数．2．对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．求下列各函数的导数．-3-(1)y＝(x＋1)1x－1；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝x2sinx.[解](1)化简得y＝x·1x－x＋1x－1＝－x12＋x－12，∴y′＝－12x－12－12x－32＝－12x1＋1x.(2)∵y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y′＝x2′sinx－x2sinx′sin2x＝2xsinx－x2cosxsin2x.利用导数求曲线的切线方程【例2】求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．思路探究：点(1，－1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f′(x0)．写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求x0，从而求出切线方程．[解]设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x)＝3x20－2，故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)．①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－12.∴k＝1或k＝－54.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.-4-求切线的注意点1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程．2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点．2．求曲线y＝2xx2＋1在点(1,1)处的切线方程．[解]y′＝2x2＋1－2x·2xx2＋12＝2－2x2x2＋12，∴当x＝1时，y′＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0.因此，曲线y＝2xx2＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝1．导数运算法则的综合应用[探究问题]1．二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图像的顶点在第几象限？[提示]设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，∵y＝f′(x)＝2ax＋b的图像是一条过第一、二、三象限的直线，∴2a0，b0，即a0，b0，∴－b2a0，－b24a0，∴f(x)的图像的顶点在第三象限．2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，试求f′(－1)的值．[提示]由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2．【例3】已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式．思路探究：利用点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f′(－1)＝－12联立方程组，可求出a，b的值．-5-[解]由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－12.∵f′(x)＝ax2＋b－2xax－6x2＋b2，∴－a－61＋b＝－2，a1＋b－2a＋61＋b2＝－12，即a＝2b－4，a1＋b－2a＋61＋b2＝－12，解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f(x)＝2x－6x2＋3.解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．[解](1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.1．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．2．一般情况下，应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导数公式求导数时，要尽量少用积、商的求导法则．在求导之前，可先对函数进行化简，然后求导，这样可减少-6-运算量，提高运算速度，避免出错．3．公式推广：(1)[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；(2)(uv…w)′＝(u′v…w)＋(uv′…w)＋…＋(uv…w′)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2cosx，则y′＝2xcosx－x2sinx．()(2)y＝2x，则y′＝x2x－1．()(3)y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx．()(1)√(2)×(3)×[(1)y′＝2xcosx－x2sinx，∴(1)正确；(2)y′＝2xln2，∴(2)错误；(3)y′＝cosx－sinx，∴(3)错误．]2．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.2[因为y′＝α·xα－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2．]3．已知函数f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝______.－2[∵f′(x)＝f′π2cosx－sinx，∴f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－2.]4．求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.[解](1)y′＝－2x－3＋2x＝2x－2x3，(2)y′＝3xln3·ex＋3x·ex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2．-7-(3)y′＝1xx2＋1－lnx·2xx2＋12＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12.