2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则学案 北师大版选修2

-1-§5简单复合函数的求导法则学习目标核心素养1．了解复合函数的概念．(难点)2．掌握复合函数的求导法则．(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)1．通过对复合函数的求导法则的理解，提升了学生的逻辑推理的核心素养.2．通过运用复合函数求导法则进行求导的学习，培养了学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．下列函数不是复合函数的是()A．y＝－x3－1x＋1B．y＝cosx＋π4C．y＝1lnxD．y＝(2x＋3)4A[A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.]2．(ln2x)′等于()A.12xB.1xC.1xln2D.ln2xB[(ln2x)′＝12x(2x)′＝1x.]3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.-2-32[f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.]复合函数的定义【例1】指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos3x.思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．[解](1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．(3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的．判断复合函数的方法判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．1．指出下列函数由哪些函数复合而成．(1)y＝lnx；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(3x＋1)．[解](1)y＝lnu，u＝x.(2)y＝eu，u＝sinx.(3)y＝cosu，u＝3x＋1．求复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.思路探究：先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．-3-(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5uln2＝5x－1ln2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数．(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝11－2x；(3)y＝sin－2x＋π3；(4)y＝102x＋3.[解](1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.-4-(2)y＝11－2x＝(1－2x)－12可看作y＝u－12，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝－12u－32·(－2)＝(1－2x)－32＝11－2x1－2x.(3)原函数可看作y＝sinu，u＝－2x＋π3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－2)＝－2cos－2x＋π3＝－2cos2x－π3.(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln10·2＝(2ln10)102x＋3.复合函数导数的应用[探究问题]1．求曲线y＝cos2x＋π6在x＝π6处切线的斜率．[提示]∵y′＝－2sin2x＋π6，∴切线的斜率k＝－2sin2×π6＋π6＝－2．2．求曲线y＝f(x)＝e2x＋1在点－12，1处的切线方程．[提示]∵f′(x)＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，∴f′－12＝2，∴曲线y＝e2x＋1在点－12，1处的切线方程为y－1＝2x＋12，即2x－y＋2＝0.【例3】已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，求实数a的值．思路探究：求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．-5-[解]因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋2x－2(x2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝|2－a|4a－12＋1＝12，解得a＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．3．曲线y＝f(x)＝esinx在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．[解]设u＝sinx，则f′(x)＝(esinx)′＝(eu)′(sinx)′＝cosxesinx.f′(0)＝1．则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1．故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.1．判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函-6-数．2．求复合函数导数的几个环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinπ3′＝cosπ3.()(2)1x3′＝13x2.()(3)(e2x)′＝e2x.()(4)(cos2x)′＝－sin2x.()(5)(ln5x)′＝1x.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.2[令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2．因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]3．已知f(x)＝e2x－2x，则f′xex－1＝________.2(ex＋1)[f′(x)＝2e2x－2，∴f′xex－1＝2e2x－2ex－1＝2ex＋1ex－1ex－1＝2(ex＋1)．]4．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1．[解](1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cosu和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(cosu)′·(x＋3)′＝－sinu·1＝－sinu＝－sin(x＋3)．-7-(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2．(3)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu·(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1．