2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 1 2 2.1 直线的参数方程学案 北师大版选修4

-1-2.1直线的参数方程学习目标：1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程．(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt①，并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数．()(2)参数与变量x，y间存在函数关系．()(3)点M(2,1)在曲线x＝2t，y＝t2＋1(t为参数)上．()[解析](1)×参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数．(2)√在参数方程中，参数与x，y存在函数关系．(3)×x＝2时，2＝2×t得t＝1，而y＝1时t＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上．[答案](1)×(2)√(3)×教材整理2直线的参数方程1．经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．①其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示．2．经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为-2-(λ为参数，λ≠－1)．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段QP→的数量比QMMP.当λ＞0时，M为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合．填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________．(2)参数方程x＝1＋tcos20°，y＝2＋tsin20°(t为参数)表示的直线的倾斜角是________．[解析](1)x＝tcos60°，y＝tsin60°，即x＝12t，y＝32t(t为参数)．(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.[答案](1)x＝12t，y＝32t(t为参数)(2)20°求动点轨迹的参数方程【例1】如图所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于M1，和过A点的切线交于点B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程．-3-[精彩点拨]引入弦OM1与x轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M(x，y)的坐标x，y分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程．[尝试解答]设点M的坐标为M(x，y)，弦OM1与x轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM1，则有AM1⊥OM1，OC＝2acosθ·cosθ＝2acos2θ，AB＝2atanθ，∴x＝2acos2θ，y＝2atanθ(θ为参数)，这就是所求的点M的参数方程．求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x，y之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．1．过抛物线y2＝4px(p＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，求AB中点P的轨迹方程．[解]设OA的斜率为k(k≠0)，则y2＝4px，y＝kx，解得A点坐标为4pk2，4pk.由y＝－1kx，y2＝4px，解得B点坐标为(4pk2，－4pk)．设AB的中点为P(x，y)，-4-则x＝4pk2＋4pk22＝2p1k2＋k2，y＝2p1k－k(k为参数)，消去k得中点P的轨迹方程为y2＝2p(x－4p)(p＞0).求直线的参数方程【例2】已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．[精彩点拨]根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，得该直线的参数方程．然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．[尝试解答](1)直线l的参数方程为x＝3＋tcos120°，y＝4＋tsin120°(t为参数)，即x＝3－12t，y＝4＋32t(t为参数)．(2)把x＝3－12t，y＝4＋32t，代入x－y＋1＝0，得3－12t－4－32t＋1＝0，得t＝0.把t＝0代入x＝3－12t，y＝4＋32t，得两直线的交点为(3,4)．求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)求；-5-若已知两个定点，利用x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)求．2．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.[解](1)直线l的参数方程为x＝－3＋tcos56π＝－3－32t，y＝3＋tsin56π＝3＋t2(t为参数)．(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4－3－32t2＋3＋12t2－16＝0，即13t2＋4(3＋123)t＋116＝0.由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11613.直线参数方程的应用[探究问题]1．直线参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(α为参数)中参数的几何意义怎样理解？[提示]直线参数方程中参数t表示直线上以定点P为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段PM→的数量，当点M在点P上方时，t＞0；当点M在P的下方时，t＜0；当点M与P重合时，t＝0.我们也可以把参数t理解为以P为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同．2．直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)，斜率为ba时的直线-6-参数方程怎样？[提示]直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋at，y＝y0＋bt(a，b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段PM→的长度；当a2＋b2≠1时，参数方程的标准形式为x＝x0＋aa2＋b2a2＋b2t，y＝y0＋ba2＋b2a2＋b2t，其中a2＋b2t具有标准参数方程中参数的几何意义．3．当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？[提示]在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便．【例3】如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为43，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长|AB|.[精彩点拨]先求得直线l的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t的一元二次方程，再利用参数t的几何意义，逐个求解．[尝试解答](1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为43，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝43，cosα＝35，sinα＝45，∴直线l的参数方程的标准形式为x＝2＋35t，y＝45t(t为参数)．(*)-7-∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝158，t1t2＝－254.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝t1＋t22＝1516.(2)因为中点M所对应的参数为tM＝1516，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得x＝2＋35×1516＝4116，y＝45×1516＝34，即M4116，34.(3)|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝5873.在求直线l与曲线C：fx，y＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程代入fx，y＝0，可以得到一个关于t的方程fx0＋tcosα，y0＋tsinα＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.1弦AB的长|AB|＝|t1－t2|.2线段AB的中点M对应的参数解题时可以作为基本结论使用.3．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆ρ＝2相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．-8-[解](1)直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，即x＝1＋32t，y＝1＋12t(t是参数)．(2)圆ρ＝2的普通方程为x2＋y2＝4.把直线x＝1＋32t，y＝1＋12t代入x2＋y2＝4，得1＋32t2＋1＋12t2＝4.整理得t2＋(3＋1)t－2＝0，点P到A，B的距离之积为|t1|·|t2|＝|t1t2|＝2.1．直线x＝－2＋tcos50°，y＝3－tsin40°(t为参数)的倾斜角α等于()A．40°B．50°C．－45°D．135°[解析]根据tanα＝－sin40°cos50°＝－1，因此倾斜角为135°.[答案]D2．曲线x＝－2＋5t，y＝1－2t(t为参数)与坐标轴的交点是()-9-A.0，25，12，0B．0，15，12，0C．(0，－4)，(8,0)D．0，59，(8,0)[解析]当x＝－2＋5t＝0时，解得t＝25，可得y＝1－2t＝15，当y＝1－2t＝0时，解得t＝12，可得x＝－2＋5t＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为0，15，12，0.[答案]B3．过点P(－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________．[解析]∵直线l过点P(－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为x＝－4＋tcos5π6，y＝0＋tsin5π6，即x＝－4－32t，y＝t2.[答案]x＝－4－32t，y＝t24．已知圆C的圆心是直线x＝t，y＝1＋t(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________．[解析]由x＝t，y＝1＋t，得x－y＋1＝0.∴圆心C(－1,0)，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴r＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.[答案](x＋1)2＋y2＝25．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A，B两点，求这-10-两点的距离．[解]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设过焦点F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)，将