2019-2020学年高中数学 第2章 几个重要的不等式 2 排序不等式学案 北师大版选修4-5

-1-§2排序不等式学习目标：1.了解排序不等式，理解排序不等式的实质．(重点)2.能用排序不等式证明简单的问题．(难点)教材整理1顺序和、乱序和、逆序和的概念阅读教材P32～P34“练习”以上部分，完成下列问题．设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式．通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为顺序和，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为乱序和，a1b3＋a2b2＋a3b1为逆序和(倒序和)．填空：若m≥n≥p≥q，a≥b≥c≥d，则(1)am＋bn＋cp＋dq是________和，(2)an＋bq＋ca＋dp是________和，(3)aq＋bp＋cn＋dm是________和，(4)aq＋bm＋cq＋dn是________和．[答案](1)顺序(2)乱序(3)逆序(4)乱序教材整理2排序不等式阅读教材P32～P34“练习”以上部分，完成下列问题．1．定理1设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc，当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．2．定理2(排序不等式)设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则a1bj1＋a2bj2＋a3bj3中最大值是a1b1＋a2b2＋a3b3(其中j1，-2-j2，j3是1,2,3的任一排列).()(2)若a≥b，c≥d，则ac＋bd≥ad＋bc.()[答案](1)√(2)√利用排序不等式证明不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况【例1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a5b3c3＋b5c3a3＋c5c3b3≥1a＋1b＋1c.[精彩点拨]本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．[自主解答](1)∵a≥b0，于是1a≤1b，又c0，∴1c0，从而1bc≥1ca.同理，∵b≥c0，于是1b≤1c.∵a0，∴1a0，于是得1ca≥1ab.从而1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)知1bc≥1ca≥1ab，于是由“顺序和≥乱序和”得，a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3(∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3)≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序，构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组.1．已知0a1≤a2≤…≤an，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.-3-[证明]∵0a1≤a2≤…≤an，∴a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an，由排序不等式知，乱序和不小于逆序和，得a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1an，∴a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况【例2】已知a，b，c为正数．求证：a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.[精彩点拨]解答此题需要假设a≥b≥c推出a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a，再利用排序不等式进行论证．[自主解答]不妨设a≥b≥c，则a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a.故由排序不等式，得a2·1c＋b2·1a＋c2·1b≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c，①a2·1b＋b2·1c＋c2·1a≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c，②(①＋②)÷2可得a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≥a＋b＋c.又∵a3≥b3≥c3且1bc≥1ac≥1ab，由排序不等式，得a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab≥a3·1ac＋b3·1ab＋c3·1bc，③a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab≥a3·1ab＋b3·1bc＋c3·1ca，④(③＋④)÷2可得a3bc＋b3ca＋c3ab≥a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b.综上可知，a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，-4-先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证.2．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2.[证明]设b1，b2，…，bn是a1，a2，…an的一个排列，且满足b1b2…bn.由于b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，∴b1≥1，b2≥2，b3≥3，…，bn≥n.又1122132…1n2.由排序不等式得a1＋a222＋a332＋…＋ann2≥b1＋b222＋b332＋…＋bnn2≥1＋222＋332＋…＋nn2＝1＋12＋13＋…＋1n.运用排序不等式求最值[探究问题]1．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？[提示]a1bn＋a2bn－2＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？[提示]由顺序和最大，知最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304.由逆序和最小，知最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.【例3】设a，b，c为任意正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．[精彩点拨]由对称性，不妨设a≥b≥c0，注意到bb＋c＋cb＋c＝1.设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b.由排序不等式得，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋-5-ac＋a＋ba＋b，上两式相加，则2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥3，即ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.构造两个有序数组―→利用排序不等式―→验证等号是否成立.3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值．[解]不妨设x≥y≥z0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x.由排序不等式，乱序和≥逆序和得，x2y＋y2z＋z2x≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z，又x＋y＋z＝1，x2y＋y2z＋z2x≥1.当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．故t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值为1.-6-1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()A．MNB．M≥NC．MND．M≤N[解析]由排序不等式，知M≥N.[答案]B2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤Q[解析]不妨设a≥b≥c0，∴a2≥b2≥c20，由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.[答案]B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是______，最小值是__________．[解析]由排序不等式，顺序和最大，逆序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.[答案]32284．设正数a1，a2，…，an的任一排列为a1′，a2′，…，an′，则a1a1′＋a2a2′＋…＋anan′的最小值为__________．[解析]取两组数a1，a2，…，an；1a1，1a2，…，1an，其反序和为a1a1＋a2a2＋…＋anan＝n，则由乱序和不小于反序和知a1a1′≥a＋b＋c.