2019-2020学年高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）离散型随机变

第1课时离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．(难点)通过对离散型随机变量均值的学习，培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.1．离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi＝(i＝1,2，…，r)，则X的均值为a1p1＋a2p2＋…＋arpr.(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．2．均值的性质(1)若X为常数C，则EX＝C.(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N，M，nnMN二项分布n，pnp思考：两点分布与二项分布有什么关系？[提示](1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．1．设随机变量X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4D[∵EX＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.]2．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P35310110则X的数学期望EX＝________.32[EX＝1×35＋2×310＋3×110＝32.]3．若随机变量X服从二项分布B4，13，则EX的值为________．43[EX＝np＝4×13＝43.]4．设EX＝10，则E(3X＋5)＝________.35[E(3X＋5)＝3EX＋5＝3×10＋5＝35.]离散型随机变量均值的性质【例1】已知随机变量X的分布列为：X－2－1012P141315m120若Y＝－2X，则EY＝________.1715[由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1,解得m＝16，∴EX＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.由Y＝－2X，得EY＝－2EX，即EY＝－2×－1730＝1715.][母题探究1]本例条件不变，若Y＝2X－3,求EY.[解]由公式E(aX＋b)＝aEX＋b及EX＝－1730得，EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－1730－3＝－6215.[母题探究2]本例条件不变，若ξ＝aX＋3,且Eξ＝－112，求a的值．[解]∵Eξ＝E(aX＋3)＝aEX＋3＝－1730a＋3＝－112，∴a＝15.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aEX＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．求离散型随机变量的均值【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y，(1)求X的概率分布列；(2)求X和Y的均值．[解](1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck312k123－k.则P(X＝0)＝C03×123＝18；P(X＝1)＝C13×12×122＝38；P(X＝2)＝C23×122×12＝38；P(X＝3)＝C33×123＝18.所以X的概率分布列如下表：X0123P18383818(2)由(1)知EX＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X～B3，12，Y～B3，23，∴EX＝3×12＝1.5，EY＝3×23＝2.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2求出ξ的每个值的概率.3写出ξ的分布列.4利用定义求出均值.其中第1、2两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.1．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．[解]只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A)＝1－C23C26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝5C26＝13，P(ξ＝1)＝4C26＝415，P(ξ＝2)＝3C26＝15，P(ξ＝3)＝2C26＝215，P(ξ＝4)＝1C26＝115.从而知ξ的分布列为ξ01234P1341515215115所以Eξ＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.离散型随机变量均值的实际应用[探究问题]1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？[提示]随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路探究：根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为，EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．2．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及均值E(η)．[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A)＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P(A)＝1－0.216＝0.784.(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此η的分布列为η200250300P0.40.40.2Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质(1)Ec＝c(c为常数)；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；(3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数).1．若随机变量X～B(5,0.8)，则EX＝()A．0.8B．4C．5D．3B[EX＝np＝5×0.8＝4.故选B.]2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝14，k＝1,2,3,4，则EX的值为()A．2.5B．3.5C．0.25D．2A[EX＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5.]3．马老师抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此可得Eξ＝__________.2[设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.]4．已知X～B100，12，则E(2X＋3)＝________.103[EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]5．某运动员投篮投中的概率P＝0.6.(1)求一次投篮时投中次数ξ的均值；(2)求重复5次投篮时投中次数η的均值．[解](1)ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则Eξ＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0.6.(2)η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．∴Eη＝np＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的均值为3.