2019-2020学年高中数学 第2章 概率 6 正态分布学案 北师大版选修2-3

-1-6.1连续型随机变量6.2正态分布学习目标核心素养1.了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(难点)2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点)通过对正态分布的学习，培养“逻辑推理”、“数学抽象”、“数学运算”的数学素养.1．正态分布(1)在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数．(2)若随机变量X的分布密度函数为f(x)＝1σ2π·e－x－μ22σ2，其中μ与σ分别是随机变量X的均值与标准差，则称X服从参数μ和σ2的正态分布，记作X～N(μ，σ2)．2．正态曲线的性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ0)的大小决定函数图像的胖、瘦；(3)P(μ－σXμ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σXμ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σXμ＋3σ)＝99.7%.1．若X～N1，14，Y＝6X，则EY等于()A．1B．32C．6D．36[答案]C2．设随机变量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),则c等于()A．0B．σC．－μD．μ[答案]D3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X2)＝()-2-A．15B．14C．13D．12D[由题意知X的均值为2，因此P(X2)＝12.]4．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A．1B．－1C．0D．不确定C[由正态曲线性质知均值为0.]5．正态分布的概率密度函数P(x)＝122πe－x－528在(3,7]内取值的概率为________.0.683[由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，所以P(3X≤7)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.683.]正态曲线及其性质【例1】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]用正态曲线的性质可以求参数μ，σ1正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ.-3-2正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图像可求σ.3由σ的大小区分曲线的胖瘦.1．(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________.(2)某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2)内的概率为________．(1)202(2)0.477[(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝2，因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2.(2)正态分布密度函数是f(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1，∴P(0X2)＝12P(－2X2)＝12P(μ－2σXμ＋2σ)＝12×0.954＝0.477.]正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．C[(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ0)＝0.2，∴P(0ξ4)＝0.6，∴P(0ξ2)＝0.3.故选C.]-4-(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6830.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝0.3415.1．求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．2．常用结论有：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．2．设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3X≤－1)，所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝12(0.954－0.683)＝0.1355.正态分布的实际应用[探究问题]1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？[提示]零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.-5-2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种零件中约有多少件一等品？[提示]P(3.5ε≤4.5)＝P(μ－σεμ＋σ)＝0.6830，所以1000件产品中大约有1000×0.6830＝683(件)一等品．【例3】在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人．思路探究：正态分布→确定μ，σ的值→正态分布在三个特殊区间上的概率→求解[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)P(70X110)＝P(90－2×10X90＋2×10)＝0.954，即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)P(80X100)＝P(90－10X90＋10)＝0.683，∴2000×0.683＝1366(人)．即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1366人．正态曲线的应用及求解策略,解决此类题目的关键在于将待求的问题向μ－σ，μ＋σ，μ－2σ，μ＋2σ，μ－3σ，μ＋3σ这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.052)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？[解]由于X服从正态分布N(4,0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.052)在(4－3×0.05,4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7∉(3.85,4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估-6-计．2．因为P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.997，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.003，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.1.正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是()A．0和8B．0和4C．0和2D．0和2C[由条件可知μ＝0，σ＝2.]2.如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ11σ2σ30B．0σ1σ21σ3C．σ1σ21σ30D．0σ1σ2＝1σ3D[当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe－x22.在x＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0σ1σ2＝1σ3.]3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.12[由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P(X≤μ)＝12.]4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X4)＝0.84，则P(X≤0)＝________.-7-0.16[由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X4)＝1－0.84＝0.16.]5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000,4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率．[解]依题意得μ＝104，σ＝400.∴P(104－800X104＋800)＝P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.954.由正态分布性质知P(X104－800)＝P(X104＋800)．故2P(X10800)＋P(104－800X104＋800)＝1，∴P(X10800)＝1－0.9542＝0.023，故使用时间超过10800小时的概率为0.023.