搜索
-1-§6距离的计算学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点)2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)1．利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s，并求s0＝s|s|；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|PA→|；(4)计算PA→在向量s上的投影PA→·s0；(5)计算点A到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.2．利用向量求点A到平面π的距离步骤：(1)找到平面π的法向量n；(2)在平面π内任取一点P；(3)计算PA→在向量n上的投影PA→·n0；(4)计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.思考：如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.PA→与PB→在PO→上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？[提示]相等，都等于|PO→|，即P到平面α的距离．1.判断正误(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB→的长度．()-2-(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A.322B.22C.102D.2A[PA→＝(－2，0，－1)，|PA→|＝5，PA→·n|n|＝－12，则点P到直线l的距离d＝|PA→|2－PA→·n|n|2＝5－12＝322.]3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为()A．10B．3C.83D.103D[∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴AP→＝(－1，－2，4)，∵n＝(－2，－2，1)，∴n0＝n|n|＝－23，－23，13，∴d＝|AP→·n0|＝（－1）×－23＋（－2）×－23＋4×13＝103.]4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．22[CA→＝(1，2，0)，直线AB到平面α的距离d＝|CA→·n0|＝22.]点到直线的距离【例1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：-3-(1)直线AC；(2)直线BD.[解](1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC，所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离．(2)如图建立空间直角坐标系，则有B(4，3，0)，A1(4，0，5)．DB→＝(4，3，0)，DA1→＝(4，0，5)，DA1→·DB→|DB→|a.