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-1-2.1抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导.(重点、易混点)3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.(重点、难点)1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．思考：在抛物线的定义中，如果去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？[提示]不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；当l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p0)0，－p2y＝p2思考：抛物线的标准方程y2＝2px(p0)与二次函数y＝ax2(a0)有什么区别？[提示]y2＝2px(p0)与y＝ax2(a0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样，y2＝2px(p0)：焦点p2，0，对称轴为x轴；y＝ax2(a0)，即x2＝1ay，焦点0，14a，对称轴为y轴．-2-1.判断正误(1)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0，5)()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()[答案](1)×(2)√(3)×2．抛物线y2＝－8x的准线方程为()A．x＝2B．x＝－2C．y＝2D．y＝－2A[由题意知，准线方程为x＝2.]3．已知抛物线的焦点是0，－14，则抛物线的标准方程是()A．x2＝－yB．x2＝yC．y2＝xD．y2＝－xA[由焦点是0，－14，得焦点在y轴负半轴－p2＝－14，∴p＝12，∴抛物线方程：x2＝－y.]4．抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________．(4，±4)[设P点的坐标为(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，x0＝4，∴y20＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4)．]求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为52.[解](1)由于焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，∴p＝2，-3-∴抛物线的标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝92或n＝43.∴所求抛物线的标准方程为y2＝92x或x2＝43y.(4)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．1．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[解](1)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)或x2＝－2p1y(p10)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.抛物线定义的应用[探究问题]1．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是什么？它有什么作用？-4-[提示](1)抛物线标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离．(2)可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线方程，求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.2．抛物线的定义涉及一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，则|MF|与动点M到直线l的距离间存在怎样的关系，体现了什么数学思想？[提示]|MF|与动点M到直线l的距离相等，体现了转化与化归的数学思想．即涉及到抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为到准线的距离；抛物线上的点到准线的距离可转化为与焦点之间的距离．【例2】(1)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．(1)A[由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．](2)解：如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72.即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2)．1.(变条件)本例(1)的条件换为“过点A(3，0)且与y轴相切”，则动圆的圆心轨迹为-5-()A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线D[如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，即所求圆心的轨迹为抛物线．]2.(变条件、结论)把本例(2)的条件“A(3，2)”换为“A(0，2)”，求点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．[解]由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P到准线x＝－12的距离d＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，连结AF，交y2＝2x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，∴其最小值为|AF|＝0－122＋（2－0）2＝172.利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．抛物线的实际应用【例3】一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．[思路探究]解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的方法解决问题．[解]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为a2，－a4，如图所示．-6-设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则a22＝m·－a4，∴m＝－a.即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y－－a4＞3，即a4－0.82a＞3.∵a＞0，∴a＞12.21.∴a应取13.求抛物线实际应用的五个步骤1．建系：建立适当的坐标系；2．假设：设出合适的抛物线标准方程；3．计算：通过计算求出抛物线的标准方程；4．求解：求出需要求出的量；5．还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．2．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．26[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．]1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0，1)-7-B．开口向上，焦点为(0，116)C．开口向右，焦点为(1，0)D．开口向右，焦点为(0，116)B[由y＝4x2得x2＝14y，∴开口向上，焦点坐标为0，116.]2．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10xC[由题意得2＋p2＝4，∴p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x.]3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．－18[把抛物线方程y＝ax2化为标准方程x2＝1ay，∴－14a＝2，∴a＝－18.]4．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．148[将方程化为标准形式是x2＝112y，因为2p＝112，所以p＝124.故到焦点的距离最小值为148.]5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．[解]设抛物线方程为y2＝2px(p0)，焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线的距离，则3＋p2＝5，∴p＝4.因此抛物线方程为y2＝8x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，∴m＝±26.