2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 2 2.2 抛物线的简单性质学案 北师大版选

-1-2.2抛物线的简单性质学习目标：1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点)2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点)3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点)抛物线的简单性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2顶点坐标O(0，0)离心率e＝1通径长2p思考：观察如图，抛物线标准方程y2＝2px(p＞0)中，开口大小与p有怎样的关系？[提示]p越大，抛物线开口越开阔．1.判断正误(1)抛物线x2＝2py(p0)有一条对称轴为y轴．()(2)抛物线y＝－18x2的准线方程是x＝132.()-2-(3)抛物线关于(0，0)对称．()[答案](1)√(2)×(3)×2．拋物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8.若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8yC[由题意知通径长2p＝8，且焦点在x轴上，但开口向左或右不确定，故方程为y2＝8x或y2＝－8x.]3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．2[F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.]4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是________．y2＝24x或y2＝－24x[∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p＝24，又∵对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x.]抛物线的几何性质【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长．[解]如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2.又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x10，x20，2p0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°.-3-∴y1x1＝tan30°＝33，而y21＝2px1，∴y1＝23p.于是|AB|＝2y1＝43p.1．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．2．解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．1．(1)等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．(1)B[设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由y＝x，y2＝2px，得A(2p，2p)．∴B(2p，－2p)，|AB|＝4p.∴S△ABO＝12×4p×2p＝4p2.](2)设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，－y0)，又Fp2，0是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即y0x0－p2·－y0x0＝－1，∴y20＝x0x0－p2，又y20＝2px0，∴x0＝2p＋p2＝5p2.-4-因此直线AB的方程为x＝5p2.抛物线的焦半径和焦点弦问题[探究问题]1．抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段称为焦半径，记作r＝|PF|.根据抛物线的定义，你能写出焦半径公式吗？[提示]焦半径公式如下：(1)y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋p2；(2)y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋p2；(3)x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋p2；(4)x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋p2.2．设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)．你能总结有关焦点弦的结论吗？[提示](1)x1x2＝p24；(2)y1y2＝－p2；(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，焦点弦最短，是通径，为2p；(4)弦长|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)；(5)以AB为直径的圆必与准线l相切；(6)1|AF|＋1|BF|＝2p.【例2】(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．(1)16(2)72[(1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.(2)抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，又准线方程为x-5-＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.]1.(变条件)本例(2)的条件“|AB|＝7”换成“若x1＋x2＝6”，求|AB|.8[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]2.(变条件)本例(2)的条件“|AB|＝7”换成“|AB|＝8”，求直线l的方程．[解]∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．由y＝k（x－1），y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k2＋4k2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2＋4k2＋2＝8，∴2k2＋4k2＝6，解得k＝±1.∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．直线与抛物线的位置关系【例3】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．-6-[解]将直线l和抛物线C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.∴直线l与抛物线C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，①当Δ0，即k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ0，即k1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；(3)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点．直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．2．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．[证明]设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组y＝k（x－4）＋2，y2＝x，消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．-7-∴4·xB＝16k2－16k＋4k2，即xB＝4k2－4k＋1k2.以－k代换xB中的k，得xC＝4k2＋4k＋1k2，∴kBC＝yB－yCxB－xC＝k（xB－4）＋2－[－k（xC－4）＋2]xB－xC＝k（xB＋xC－8）xB－xC＝k8k2＋2k2－8－8kk2＝－14.所以直线BC的斜率为定值.1．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．23B．2C.3D．1D[抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，则d＝|2－3×0|12＋（－3）2＝1.故选D.]2．过抛物线y2＝4x的焦点作一直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝5，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有无穷多条D．不存在B[抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p＝4＜5，所以这样的直线有两条．]3．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是()A．y2＝82xB．y2＝±42xC．y2＝±4xD．y2＝±82xB[设抛物线的方程为y2＝2ax，根据题意知12×|2a|×|a2|＝4，∴|a|＝22，a＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.]4．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．112－1[由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，-8-y0)，则y20＝x0，|PA|＝（x0－3）2＋y20＝x20－6x＋9＋x0＝x0－522＋114，当且仅当x0＝52时，|PA|取得最小值112，此时|PQ|取得最小值112－1.]5．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[解](1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.