2019-2020学年高中数学 第4章 定积分 3 3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积

-1-3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积学习目标核心素养1．会用定积分求平面图形的面积．(重点)2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点)1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积，提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.2．通过建立实际问题的模型，培养了学生的数学建模的核心素养.1．当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝abf(x)dx.2．当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－abf(x)dx.3．当x∈[a，b]时，若f(x)g(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ab[f(x)－g(x)]dx.(如图)4．旋转体可看作由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V＝abπ[f(x)]2dx.1．由y＝x2，x＝1和y＝0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.π6B.π4C.π5D.4π5C[V＝π01y2dx＝π01(x2)2dx＝π5x510＝π5.]2．直线y＝x，x＝1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A．πB．π3-2-C．13D．1B[V＝01πx2dx＝π3x3|10＝π3.]3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.14[图形如图所示，S＝01x2dx－0114x2dx＝0134x2dx＝14x310＝14.]利用定积分求平面图形的面积【例1】(1)求由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形的面积S；(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．思路探究：(1)作出两函数的图像，并求其交点坐标．确定积分区间，利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．[解](1)作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2－6x＋13，y＝x＋3，得-3-交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此，所求图形的面积S＝25(x＋3)dx－25(x2－6x＋13)dx＝25(－x2＋7x－10)dx＝－13x3＋72x2－10x52＝92.(2)法一：由y＝x2，y＝x和y＝x2，y＝2x解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2．故所求的面积S＝01(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210＋x2－x3321＝12－0＋4－83－1－13＝76.法二：由于点D的横坐标也是2，故S＝02(2x－x)dx－12(x2－x)dx＝x2220－x33－x2221＝2－83－2＋13－12＝76.法三：因为14y2′＝y2，23y32－y24′＝y－y2.故所求的面积为S＝01y－y2dy＋14y－y2dy＝14y210＋23y32－y2441＝14＋23×8－14×16－23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤1．画出图形；2．确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；3．确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置；4．写出平面图形面积的定积分表达式；5．运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．-4-1．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为()A．53B．1C．52D．23B[由图可知，所求面积S＝-10(x2－x)dx＋01(x－x2)dx＝x33－x220－1＋x22－x3310＝56＋16＝1．]求简单几何体的体积【例2】求由曲线y＝12x2与y＝2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．思路探究：所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．[解]曲线y＝12x2与y＝2x所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y＝2x，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y＝12x2，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)．V1＝02π(2x)2dx＝2π02xdx＝2π·12x2|20＝4π，V2＝02π12x22dx＝π402x4dx＝π4×15x5|20＝8π5，所以V＝V1－V2＝4π－8π5＝12π5.定积分求几何体体积的方法1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V＝πabf2(x)dx－πabg2xdx，而不能写成V＝πab[f(x)－g(x)]2dx.2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定-5-积分表达式V＝πabf2xdx求解．2．设平面图形由0，π2上的曲线y＝sinx及直线y＝12，x＝π2围成，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．[解]先画草图．设f(x)＝sinx，x∈0，π2，g(x)＝12.则f(x)与g(x)的交点为π6，12.V＝π6π2πsin2x－122dx＝π6π2π1－cos2x2－14dx＝π6π2π14－12cos2xdx＝π14x－14sin2xπ2π6＝π212＋38π.定积分的综合应用[探究问题]1．设a＞0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，试求a的值．[提示]由已知得S＝0axdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，所以a12＝23，所以a＝49.2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c0)围成图形的面积是23，试求c的值．[提示]由y＝x2，y＝cx3，得x＝0或x＝1c.-6-∵0x1c时，x2cx3，∴S＝01c(x2－cx3)dx＝13x3－14cx41c0＝13c3－14c3＝112c3＝23.∴c3＝18，∴c＝12.【例3】在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．思路探究：设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．[解]设切点A(x0，x20)，切线斜率为k＝2x0，∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．令y＝0，得x＝x02，如图，.∴112x30＝112，x0＝1．∴切点A的坐标为(1,1)，切线方程为y＝2x－1．定积分求面积的易错点1．本例中求面积S时，易错误地写成S＝0x0[x2－(2x0x－x20)]dx.错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题．3．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2．-7-(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．[解](1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3.因为S1＝S2，所以t＝43，点P的坐标为43，169.(2)S＝S1＋S2＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，S′＝t2－2，令S′＝0得t2－2＝0.因为0t2，所以t＝2，当0t2时，S′0；2t2时，S′0.所以，当t＝2时，S1＋S2有最小值83－423，此时点P的坐标为(2，2)．1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念，定积分是一个和式的极限，它可正、可负、可为零，而平面图形的面积在一定意义下总为正，特别是当曲线有一部分在x轴下方时，计算平面图形的面积易出错．2．求解简单平面图形的面积，可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(或纵坐标)，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求平面图形的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)-8-(1)曲线y＝sinx，x∈π2，3π2与x轴围成的图形的面积为π23π2sinxdx.()(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形的面积为01x3dx＋12(2－x)dx.()(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形的面积为-22(4－x2)dx.()[答案](1)×(2)√(3)√2．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.acf(x)dxB.acfxdxC.abf(x)dx＋bcf(x)dxD.bcf(x)dx－abf(x)dxD[∵x∈[a，b]时，f(x)0，x∈[b，c]时，f(x)0，∴阴影部分的面积S＝bcf(x)dx－abf(x)dx.]3．由y＝x2，y＝x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V＝________.π6[V＝π01(y－y2)dy＝π6.]4．计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.[解]由y2＝x，y＝x2得交点的横坐标为x＝0及x＝1．因此，所求图形的面积为S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD-9-＝01xdx－01x2dx＝23x3210－13x310＝23－13＝13.