2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案 新人教B版必修5

-1-1.1.1正弦定理学习目标核心素养1.掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．2．通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．正弦定理2．解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？[提示]需要两角和一边或两边和其中一边的对角．1．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sinA＝13.则sinB＝()A．15B．59C．53D．1B[由正弦定理asinA＝bsinB可得，sinB＝b·sinAa＝5×133＝59，故选B．]2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若∠B＝30°，b＝2，则asinA的值是()-2-A．2B．3C．4D．6C[由正弦定理可得asinA＝bsinB＝2sin30°＝4.]3．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则∠B的大小为______________．45°[由正弦定理知sinAsinA＝cosBsinB，∴sinB＝cosB，∴∠B＝45°.]4．在△ABC中，2asinA－bsinB－csinC＝________.0[由于asinA＝bsinB＝csinC，所以2asinA－bsinB－csinC＝asinA－bsinB＋asinA－csinC＝0.]已知两角及一边解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b；(2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c．[解](1)法一：∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.∵sin105°＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，∴b＝csinBsinC＝20×2＋64＝52＋56.法二：设△ABC外接圆的直径为2R，则2R＝csinC＝10sin30°＝20.易知∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°，∴a＝2RsinA＝20×sin45°＝102，b＝2RsinB＝20×sin105°-3-＝20×2＋64＝52＋56.(2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46.由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c．[解]由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝csinC，得c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin60°＋45°sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．已知两边及一边的对角解三角形【例2】在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝3，∠A＝30°；(2)a＝3，b＝1，∠B＝120°.[解](1)根据正弦定理，sinB＝bsinAa＝3sin30°1＝32.∵ba，∴∠B∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°.-4-当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝bsinCsinB＝3sin60°＝2；当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1.(2)根据正弦定理，sinA＝asinBb＝3sin120°1＝321.因为sinA≤1.所以A不存在，即无解．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知△ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a＝2，c＝6，∠C＝π3；(2)a＝2，c＝6，∠A＝π4.[解](1)∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∵ca，∴∠C∠A．∴∠A＝π4.∴∠B＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3-5-＝3＋1.(2)∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝32.又∵ac，∴∠C＝π3或2π3.当∠C＝π3时，∠B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当∠C＝2π3时，∠B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.]利用正弦定理判断三角形的形状[探究问题]1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．[提示]如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即asinA＝2R，同理bsinB＝2R，csinC＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R.2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？[提示]利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和其中一角的对边解三角形．3．由asinA＝bsinB＝csinC可以得到a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？[提示](1)asinA＝bsinB，bsinB＝csinC，asinA＝csinC.(2)ab＝sinAsinB，ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC.(3)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB．【例3】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC-6-的形状．[思路探究]①∠A＝π－(∠B＋∠C)；②边角转化，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.[解]法一：在△ABC中，根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2R2＝b2R2＋c2R2，即a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.∵∠B是锐角，∴sinB＝22，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：在△ABC中，根据正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC外接圆的半径)．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且∠A＝90°.∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC．∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C．∴△ABC是等腰直角三角形．-7-依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B为两内角，试判断这个三角形的形状．[解]设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，∴bcosA＝acosB．由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB(R为△ABC外接圆的半径)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.∵∠A、∠B为△ABC的内角，∴0∠Aπ，0∠Bπ，－π∠A－∠Bπ，∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B．故△ABC为等腰三角形．1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导．2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC；(4)在△ABC中，sinAsinB⇔AB⇔ab．3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．(3)判断三角形的形状．-8-4．本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于钝角三角形．()(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立．()(3)在△ABC中，若sinA＝sinB，则三角形是等腰三角形．()[解析](1)×.正弦定理适用于任意三角形．(2)√.由正弦定理知asinA＝bsinB，即bsinA＝asinB．(3)√.由正弦定理可知asinA＝bsinB，即a＝b，所以三角形为等腰三角形．[答案](1)×(2)√(3)√2．在△ABC中，若sinA＞sinB，则∠A与∠B的大小关系为()A．∠A＞∠BB．∠A＜∠BC．∠A≥∠BD．∠A，∠B的大小关系不能确定A[因为asinA＝bsinB，所以ab＝sinAsinB.因为在△ABC中，sinA0，sinB0，sinA＞sinB，所以ab＝sinAsinB1，所以ab，由a＞b知∠A＞∠B．]3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边，且满足acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C[由acosA＝bcosB＝ccosC和正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，可得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，所以∠A＝∠B＝∠C．-9-故△ABC为等边三角形．]4．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．[解]在△ABC中，由正弦定理得asinA＝bsinB，∴ab＝sinAsinB，∴a2b2＝sin2Asin2B.又∵a2tanB＝b2tanA，∴a2b2＝tanAtanB，∴tanAtanB＝sin2Asin2B，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．