2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例（第1课时）距离和高度问题学案 新

-1-第1课时距离和高度问题学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)1.通过应用正、余弦定理求距离问题，培养学生的数学运算素养．2．借助正、余弦定理求高度问题，提升学生的直观想象的素养.实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝hl仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°B[由图知α＝β.-2-]2．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A．akmB．3akmC．2akmD．2akmB[在△ABC中，因为AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos120°＝3a2，所以AB＝3a，故选B．]3．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、________m.2034033[甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(m)；乙楼的高为：203－20tan30°＝203－20×33＝4033(m)．]测量距离问题【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．[思路探究]将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．[解]如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，-3-∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．1．如图所示，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A、C的距离是100m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B、C两点间的距离．[解]在△ABC中，AC＝100，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，则∠B＝180°－(∠BAC＋∠BCA)＝75°，由正弦定理，得BC＝AC×sin∠BACsinB＝100sin45°sin75°＝100(3－1)．即B，C两点间的距离为100(3－1)m.测量高度问题【例2】某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα-4-＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．[解]由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100m，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100m．100mB．503mC．502mD．50(3＋1)m-5-D[设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝3h，所以3h－h＝100，即h＝50(3＋1)．]与立体几何有关的测量高度问题[探究问题]1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．[提示]用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：2．在探究1中若要求山高CD怎样求解？[提示]由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD．【例3】如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．[解]在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β，在Rt△ABC中，-6-AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.测量高度问题的两个关注点：(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．1002mB．400mC．2003mD．500mD[由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3hm，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．]1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角-7-形或两个直角三角形使问题得解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角．()(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比．()[解析](1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．(4)√.由坡角的定义可知．(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γD[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC．故选D．]3．如图所示，某人向东走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好为13千米，那么x的值是________．4[由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得：x2－3x－4＝0，解得x＝4.]4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．-8-[解]如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，∴由正弦定理ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，得222＝AC32，解得AC＝6，即A，C两点之间的距离为6千米．