2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例（第3课时）三角形中的几何计算学案

-1-第3课时三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养．2．借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB；(3)S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)∠A＋∠B＝π－∠C，∠A＋∠B2＝π2－∠C2；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C∠C≠π2，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()A．32B．332C．3D．3-2-B[S△ABC＝12absinC＝12×2×3×32＝332.]2．在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，则△ABC的面积为________．93[由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin30°＝bsin30°，∴b＝6，∴S＝12×6×6×sin120°＝93.]3．若△ABC的面积为3，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________．2[在△ABC中，由面积公式得S＝12BC·AC·sinC＝12×2·AC·sin60°＝32AC＝3，∴AC＝2.∵BC＝2，∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝2.]三角形面积的计算【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解](1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且∠B＝π3，cosA＝45，∴∠C＝2π3－∠A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵∠B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.-3-∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.对于此类问题，一般用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解]由正弦定理知ABsinC＝ACsinB，即23sin120°＝2sinB，所以sinB＝12，由于ABAC，所以∠C∠B，故∠B＝30°.从而∠A＝180°－120°－30°＝30°.所以△ABC的面积S＝12AB·AC·sinA＝12×23×2×sin30°＝3.三角形中的计算【例2】在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长A．-4-[解]如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.因为c＝4，b＝7，AD＝72，在△ACD中，有cosC＝72＋x2－7222×7×x，在△ABC中，有cosC＝72＋2x2－422×7×2x.所以72＋x2－7222×7×x＝72＋2x2－422×7×2x.解得x＝92.所以a＝2x＝9.1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．2．在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD→·AC→＝0，sin∠BAC＝223，AB＝32，BD＝3.(1)求AD的长；(2)求cosC．[解](1)因为AD→·AC→＝0，-5-所以AD⊥AC，所以sin∠BAC＝sinπ2＋∠BAD＝cos∠BAD，因为sin∠BAC＝223，所以cos∠BAD＝223.在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3.由于ABAD，所以AD＝3.(2)在△ABD中，由正弦定理可知，BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，又由cos∠BAD＝223，可知sin∠BAD＝13，所以sin∠ADB＝AB·sin∠BADBD＝63，又∠DAC＝90°，所以cosC＝sin∠CDA＝sin∠ADB＝63.三角形中的综合问题[探究问题]1．如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？[提示]在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下，若已知∠ADB=α，AB＝m，DC＝n，如何求出AC?[提示]若sinB＝sin∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求-6-出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC．3．在探究1的图形中若已知∠B与∠C的大小，如何表示(或求)∠A，如何用∠B与∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？[提示]∠A＝π－(∠B＋∠C)，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．【例3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知∠A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝A．(1)求证：∠B－∠C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．[思路探究](1)先由正弦定理化边为角，再化简即证．(2)结合第(1)问可直接求出∠B，∠C．再利用面积公式求值；也可以作辅助线得出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．[解](1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，所以sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因为0∠B34π，0∠C34π，从而∠B－∠C＝π2.(2)因为∠B＋∠C＝π－∠A＝3π4，所以∠B＝58π，∠C＝π8.由a＝2，∠A＝π4得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8·sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到-7-三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．3．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝CD＝12AB＝1，AB→·AC→＝1，sin∠BCD＝35.(1)求BC边的长；(2)求四边形ABCD的面积．[解](1)∵AC＝CD＝12AB＝1，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC＝3.(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝12BC·AC＝12×3×1＝32.又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝35，∴cos∠ACD＝35，从而sin∠ACD＝1－cos2∠ACD＝45，∴S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD＝12×1×1×45＝25.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝32＋25＝4＋5310.1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．2．本节要重点掌握的规律方法-8-(1)与三角形面积有关的计算．(2)与三角形中线段长度有关的计算．(3)与解三角形有关的综合问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.()(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则∠A＝60°.()(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6.()(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则∠A＝∠B．()[解析](1)×.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝12ar＋12br＋12cr＝12(a＋b＋c)r.(2)×.由三角形面积公式S＝12bcsinA得，12×2×2×sinA＝3，所以sinA＝32，则∠A＝60°或∠A＝120°.(3)√.因为三角形的面积S＝12absinC＝12×6×4×sin30°＝6.(4)×.因为在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝π2－∠B．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则()A．∠A＝30°B．∠A＝60°C．∠A＝30°或150°D．∠A＝60°或120°D[∵S＝12bcsinA＝32，∴12×2×3sinA＝32，∴sinA＝32，∴∠A＝60°或120°.故选D．]3．在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为________．-9-7[∵S△ABC＝12×3×b×sin120°＝1534，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.]4．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，已知c＝2，∠C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．[解](1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4.因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b＝2a．联立方程a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.