2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例(第2课时)角度问题学案 新人教B

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-1-第2课时角度问题学习目标核心素养1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)1.通过运用正、余弦定理解角度问题,提升学生的数学运算的素养.2.借助将实际问题转化为解三角形问题,培养学生的数学建模的素养.1.方位角从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:0°~360°.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.1.某次测量中,A在B的南偏东34°27′,B在A的()A.北偏西34°27′B.北偏东55°33′C.北偏西55°33′D.南偏西55°33′A[如图所示.]2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°-2-B[如图,因为△ABC为等腰三角形,所以∠CBA=12(180°-80°)=50°,60°-50°=10°.即北偏西10°.]3.某人从A处出发、沿北偏西60°行走23km到达B处,再沿正东方向行走2km到达C处,则A、C两地的距离为________km.2[如图所示,∠ABC=30°,又AB=23,BC=2,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠ABC=12+4-2×23×2×32=4,AC=2,所以A、C两地的距离为2km.]角度问题【例1】(1)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°(2)有一拦水坝的横截面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为23m,那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()-3-A.33,60°B.3,60°C.3,30°D.33,30°[思路探究](1)两座灯塔A,B与观察站C的距离相等,说明∠A与∠B有何大小关系?灯塔B在观察站南偏东60°,说明∠CBD是多少度?(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.(1)D(2)B[(1)由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.(2)如图所示,横截面是等腰梯形ABCD,AB=10m,CD=6m,高DE=23m,则AE=AB-CD2=2m,∴tan∠DAE=DEAE=232=3,∴∠DAE=60°.]测量角度问题画示意图的基本步骤:1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________,大小为-4-________km/h.60°203[如图,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=203,∠COY=30°+30°=60°.]求航向的角度【例2】某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.[思路探究]本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.[解]如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,所以212t2=102+81t2+2×10×9t×12,即360t2-90t-100=0,解得t=23或t=-512(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB=14,BC=6.在△ABC中,根据正弦定理得BCsin∠CAB=ABsin120°,所以sin∠CAB=6×3214=3314,即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去).即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行,需23h才能靠近渔轮.-5-1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0,π)上是单调递减的,而正弦函数在(0,π)上不是单调函数,一个正弦值可以对应两个角.但角在0,π2上时,用正、余弦定理皆可.2.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的3倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?[解]设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点,则A,B,C三点构成△ABC,如图.设乙船速度为v海里/时,则甲船速度为3v海里/时,用时为th.由题意得BC=vt,AC=3vt,∠ABC=120°.∴3v2t2=a2+v2t2+avt,∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-a2(舍去)或vt=a,∴BC=a海里.在△ABC中,AB=BC=a海里,∴∠BAC=∠ACB=30°.故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了a海里.求解速度问题[探究问题]1.某物流投递员沿一条大路前进,从A到B,方位角是50°,距离是4km,从B到C,方位角是80°,距离是8km,从C到D,方位角是150°,距离是6km,试画出示意图.[提示]如图所示:-6-2.在探究1中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从A点到C,则此人的速度至少是多少?[提示]如探究1图,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-80°)=150°,由余弦定理得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos150°=80+323,则此人的最小速度为v=80+32312=85+23(km/h).3.在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进,10分钟后某人以167km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员,问在C点此人能否与投递员相遇?[提示]投递员到达C点的时间为t1=4+824=12(小时)=30(分钟),追投递员的人所用时间由探究2可知t2=85+23167≈0.55小时=33分钟;由于3033+10,所以此人在C点不能与投递员相遇.【例3】如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?[思路探究]根据已知图形构造三角形,利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.[解]作MI垂直公路所在直线于点I,则MI=3,∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=45.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时,追上汽车的时间为t小时,由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×45,-7-即v2=25t2-400t+2500=251t-82+900≥900,∴当t=18时,v取得最小值为30,∴其行驶距离为vt=308=154(公里).故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了154公里.解决实际问题应注意的问题:(1)首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,要正确使用正、余弦定理解决问题.3.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上,且与它相距82海里,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航行速度为()A.8(6+2)海里/时B.8(6-2)海里/时C.16(6+2)海里/时D.16(6-2)海里/时D[如图,由题意得,在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理得SAsin105°=ABsin45°,即82sin105°=ABsin45°,得AB=8(6-2)海里,-8-因此该船的航行速度为86-212=16(6-2)(海里/时).]1.在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较烦琐,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式.2.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北44°方向.()(2)如图所示,该角可以说成北偏东110°.()(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是0,π2.()(4)若点A在点C的北偏东30°方向,点B在点C的南偏东60°方向,且AC=BC,则点A在点B北偏西15°方向.()[解析](1)×.若P在Q的北偏东44°,则Q应在P的南偏西44°.(2)×.本图所标角应为方位角,可以说成点A的方位角为110°.(3)×.因为方向角的范围为0°~90°,而方位角的范围为0°~360°.(4)√.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A的正东40km处,B城市处于危险区内的时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2hB[设台风中心移动th,城市B处在危险区,则(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900,-9-解得2-12≤t≤2+12,所以B城市处在危险区的时间为1h.]3.身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有()A.d1d2B.d1d2C.d120mD.d220mB[根据题意,可得tan50°=20d1,tan40°=20d2,又因为tan50°tan40°,所以d1d2.故选B.]4.如图所示,某海轮以60海里/时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距离.[解]因为AB=40,∠BAP=120°,∠ABP=30°,所以∠APB=30°,所以AP=40,所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos120°=402+402-2×40×40×-12=402×3,所以BP=403.又∠PBC=90°,BC=80,所以PC2=BP2+BC2=(403)2+802=11200,所以PC=407海里.

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