2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列（第1课时）等比数列学案 新人教B

-1-第1课时等比数列学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)1.通过等比数列概念的学习，体现了学生的数学抽象的素养．2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：an＋1an＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．思考：等比数列还可以用哪种符号语言表示？[提示]anan－1＝q(q为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)．2．等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．(2)结论：G叫做x，y的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝xy.思考：任意两数都有等比中项吗？[提示]不是，只有同号的两数才有．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y＝a1q·qx的图象上的孤立点．-2-1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足()A．a≠1B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠1D[由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.]2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为()A．an＝2·3n＋1B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1D．an＝3·2n－1C[由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.12[∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝14，②∴②÷①得：q3＝18，∴q＝12.]等比数列的判断【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．[解](1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，-3-得anan－1＝－12.又a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．[证明]∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＋1an＝2，∴{an}是等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.等比中项的应用【例2】在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10等于多少？[解]由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝13d16d＝1316.-4-由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．2．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，∴a11＋q＋q2＝168，a1q1－q3＝42.∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述两式相除，得q(1－q)＝14⇒q＝12.∴a1＝42q－q4＝4212－124＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.等比数列的通项公式[探究问题]1．类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？[提示]由等比数列的定义可知：a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，-5-a5＝a4q＝a1q4，…由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.2．由等比数列的定义式an＋1an＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？[提示]由an＋1an＝q，知a2a1＝q，a3a2＝q，a4a3＝q，…，anan－1＝q，将以上各式两边分别相乘可得ana1＝qn－1，则an＝a1qn－1；由an＝a1qn－1，am＝a1qm－1两式相比得anam＝qn－m，则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝12，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？[提示]若a1＝2，q＝12，则a3＝2·122＝12；若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，所以q＝±2，由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”．【例3】(1)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.[思路探究](1)先由a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，列出方程组，求出a1，q，然后再由an＝1解出n.(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式．[解](1)法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，①a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，②由②①得q＝12，从而a1＝32.又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.-6-由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或12，由a25＝a10＝a1q90⇒a10，又数列{an}递增，所以q＝2.a25＝a100⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．3．在等比数列{an}中．(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解](1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)∵a4＝a1q3，a7＝a1q6，∴a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，∴an＝a1qn－1＝22n－53.-7-1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项及等比中项问题，难点是等比数列的证明．2．本节课的易错点是等比中项的求法及应用．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)等比数列的判断与证明的方法．(2)等比数列通项公式的求法．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列．()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．()(3)等比数列中的项可以为零．()[答案](1)×(2)√(3)×2．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于()A．32B．23C．－23D．23或－23C[由a1q＝18，a1q3＝8，解得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.又a1＜0，因此q＝－23.]3．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．±4[a4＝a1q3＝18×23＝1，a8＝a1q7＝18×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±16＝±4.]-8-4．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若an＝12，求n.[解](1)因为a5＝a3q2，所以q2＝a5a3＝14.所以q＝±12.当q＝12时，an＝a3qn－3＝32×12n－3＝28－n；当q＝－12时，an＝a3qn－3＝32×－12n－3.所以an＝28－n或an＝32×－12n－3.(2)当an＝12时，28－n＝12或32×－12n－3＝12，解得n＝9.