2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列（第2课时）等差数列的性质学案 新

-1-第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1.借助等差数列通项公式的推广学习，提升学生的数据分析的素养．2．通过等差数列性质的学习，培养学生的数学运算的素养.1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){an}的公差为d，则d0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考：能用am和d表示an吗？如何表示？[提示]能．an＝am＋(n－m)d．1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24-2-B[在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.]2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝()A．36B．37C．38D．39C[a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.]3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180[因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.]等差数列通项公式的推广【例1】(1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为()A．－12B．12C．－1D．1(2)已知数列{an}中，a3＝76，a7＝1514，且1an－1是等差数列，则a5＝()A．109B．1110C．1211D．1312(1)C(2)B[(1)∵a3＝9，a9＝3，又a9－a3＝6d，∴3－9＝6d，即d＝－1.(2)设等差数列1an－1的公差为d，则1a7－1＝1a3－1＋4d，∴11514－1＝176－1＋4d，解得d＝2.∴1a5－1＝1a3－1＋2d＝10，解得a5＝1110.]-3-在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an，则d＝an－a1n－1＝an－amn－m(n1，m≠n)，从而有an＝am＋(n－m)d．在解决与等差数列的通项有关的问题时，巧妙利用此结论，可以简化问题的计算过程．1．(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________；(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么a1－a2b1－b2等于________．(1)an＝12－n(2)43[(1)设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.(2)∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，∴y－x＝3a2－a1，y－x＝4b2－b1，∴3a2－a14b2－b1＝1，即a2－a1b2－b1＝43，故a1－a2b1－b2＝43.]灵活设元解等差数列【例2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解]法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.-4-法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．2．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．[解]设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝9，a－da＝6a＋d，解得a＝3，d＝－1.∴这三个数为4,3,2.等差数列的性质[探究问题]1．数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5,7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？[提示]这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此-5-你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？[提示]由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于任意等差数列{an}，设其公差为d．则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(nk0)是否成立？[提示]在探究2的结论中令m＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；m＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．【例3】在公差为d的等差数列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．[思路探究]解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．[解]法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程如下：a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，a1＋d·a1＋4d＝52，解得a1＝1，d＝3或a1＝16，d＝－3，∴d＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.-6-解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝am－anm－n，应注意把握，并学会应用．3．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.35[法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.]1．本节课的重点是等差数列性质的应用．2．要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d．(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.-7-3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与直线y＝3x＋5的图象的斜率相等．()[解析](1)×.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)×.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)√.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)√.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是()A．bn＝－anB．bn＝a2nC．bn＝anD．bn＝1anA[∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如a