2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n

-1-第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点)1.通过等差数列前n项和的性质的学习，体现了学生的逻辑推理的素养．2.借助等差数列前n项和的最值研究，考查学生的数学建模的素养.1．Sn与an的关系an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a10，d0，则S1是{Sn}的最小值；若a10，d0，则S1是{Sn}的最大值．思考：{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？[提示]不一定．1．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．220B[∵a1＋a2＋a3＝－24.a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，∴S20＝20a1＋a202＝10×18＝180.]-2-2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．5[由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中间项a6＝5.]3．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．8[∵a7＋a8＋a9＝3a80，a7＋a10＝a8＋a90，∴a80，a90.∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]由数列的Sn求通项an【例1】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证：数列{an}是等差数列；(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．[解](1)证明：a1＝S1＝1－3＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，∴an＝2n－4.∵an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等差数列．(2)由Sn＝35n－2n2＝－2n－3542＋12258.当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.一般地，an与Sn有如下关系：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数成立，由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情形，然后验证n＝1时是否满足n≥2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示．-3-1．已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝14(bn＋1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式．[解]当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1)．整理，得b2n－b2n－1－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－10，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴{bn}为等差数列，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.等差数列前n项和性质的应用【例2】已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.[解]法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：ma1＋mm－12d＝30，①2ma1＋2m2m－12d＝100，②②－①，得ma1＋m3m－12d＝70，所以S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝3ma1＋m3m－12d＝3×70＝210.法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，所以30、70、S3m－100成等差数列．所以2×70＝30＋S3m－100.所以S3m＝210.法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝a1n＋12n(n－1)d，-4-所以Snn＝a1＋(n－1)d2.即数列Snn构成首项为a1，公差为d2的等差数列．依题中条件知Smm、S2m2m、S3m3m成等差数列，所以2·S2m2m＝S3m3m＋Smm.所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.等差数列的前n项和常用性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.2．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．[解]设等差数列共2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，记为an＋1，设公差为d，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝44，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝33.∴S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1＝11，即中间项an＋1＝11.又S2n＋1＝S奇＋S偶＝77.∴2n＋1a1＋a2n＋12-5-＝2n＋1·2an＋12＝77，∴(2n＋1)×11＝77，∴2n＋1＝7，即数列的中间项为11，这个数列共7项．等差数列前n项和Sn的函数特征[探究问题]1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？[提示]首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋nn－1×32＝32n2＋12n，显然Sn是关于n的二次型函数．如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，a1也适合此式，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列．一般地，等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n，若令A＝d2，B＝a1－d2，则上式可写成Sn＝An2＋Bn(A，B可以为0)．2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？[提示]Sn＝n2－5n＝n－522－254，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．【例3】数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.-6-(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.[思路探究](1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．[解](1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知d2＝－1，a1－d2＝33，解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝332.距离332最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an0.所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.-7-故Sn′＝33n－n2n≤17，n2－33n＋544n≥18.1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻找正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用an≥0，an＋1≤0或an≤0，an＋1≥0来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．3．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|an|}的前n项和．[解]设等差数列{an}中，公差为d，由题意得a25－a10＝15d＝－45，23＝a1＋10－1×d，∴a1＝50，d＝－3.(1)设第n项开始为负，an＝50－3(n－1)＝53－3n0，∴n533，∴从第18项开始为负．(2)|an|＝|53－3n|-8-＝53－3n1n≤17，3n－53n17.当n≤17时，Sn′＝－32n2＋1032n；当n17时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)，Sn′＝－－32n2＋1032n＋2S17＝32n2－1032n＋884，∴Sn′＝－32n2＋1032nn≤17，32n2－1032n＋884n17.1．本节课的重点是等差数列前n项和的有关性质、等差数列前n项和的最值以及利用Sn求通项公式an，其中等差数列前n项和的最值问题是本节的难点．2．本节课的易错点是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，忽视条件n≥2.3．本节课要重点掌握以下规律方法(1)an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)等差数列前n项和的性质．(3)等差数列前n项的最值的求法.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．()(2)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.()(3)若a10，d0，则等差数列中所有正项之和最大．()(4