2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列（第2课时）等比数列的性质学案 新

-1-第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)1.通过等比数列性质的学习，培养学生的逻辑推理的素养．2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升学生的数学运算素养.1．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.2．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a2k.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….3．两个等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，anbn也为等比数列．4．等比数列的单调性公比q单调性首项a1q10q1q＝1q0a10递增数列递减数列常数摆动-2-a10递减数列递增数列数列数列1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝19，则a5等于()A．±181B．－181C．181D．±12C[在等比数列中，a23＝a1·a5，所以a5＝a23a1＝181.]2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7等于()A．56B．65C．23D．32D[由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，a5a7＝a4a6＝32，故选D．]3．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．1[只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.]4．正项等比数列{an}中，a2a5＝10，则lga3＋lga4＝________.1[lga3＋lga4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg10＝1.]等比数列性质的应用【例1】已知数列{an}为等比数列．(1)若an0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．-3-[解](1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a23＋2a3a5＋a25＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an0，∴a3＋a5＝6.(2)∵a22＝a1a3代入已知，得a32＝8，∴a2＝2.设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.整理，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12.∴a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝12.∴an＝2n－1或an＝23－n.在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．1．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.[解]因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.联立a4＋a7＝2，a4a7＝－8.可解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－12，故a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.灵活设项求解等比数列【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[解]法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋d2a，-4-由条件得a－d＋a＋d2a＝16，a＋a＋d＝12，解得a＝4，d＝4或a＝9.d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16，aq＋a＝12.解得a＝8，q＝2或a＝3，q＝13.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d．2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．[解]设三个数依次为aq，a，aq，∵aq·a·aq＝512，∴a＝8.∵aq－2＋(aq－2)＝2a，-5-∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？[提示]由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？[提示]在an＋1＝2an＋1两边都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？[提示]设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝52；所以在an＋1＝3an＋5两边都加52，可构造出等比数列an＋52.利用等比数列求出an＋52即可求出an.【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[思路探究](1)先由an＋Sn＝n，利用Sn与an的关系得{an}的递推关系式，然后构造出数列{an－1}，利用定义证明即可．(2)由(1)求出an代入bn＝an－an－1(n≥2)即可．[解](1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12.∵首项c1＝a1－1，-6-又a1＋a1＝1，∴a1＝12，又cn＝an－1，∴c1＝－12，∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝BA－1，这样就构造了等比数列{an＋λ}．3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－1an，bn＝1an－2，求数列{bn}的通项公式．[解]an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋23＝4bn＋23.又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1，-7-所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－4n－13－23.1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．2．要重点掌握等比数列的常用性质：(1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；(2)如果m＋n＝2k，am·an＝a2k；(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列1an，{an·bn}，bnan，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为1q1，q1q2，q2q1，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()[答案](1)√(2)×(3)√2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列B[由于anan＋1an－1an＝anan－1×an＋1an＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.7[∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41.又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49.∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7.]4．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．-8-[解]在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.联立得a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.∵{an}是递增等比数列，∴a7a3.∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.