2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式 3.1.2 不等式的性

-1-3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学习目标核心素养1.了解不等式的性质．(重点)2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)1.通过不等关系与不等式的学习，培养学生的数据分析素养．2．借助不等式性质的学习，提升学生的逻辑推理素养.1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号，≤，，≥，≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．比较两实数a，b大小的依据3．常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)ab，bc⇒ac性质3(可加性)a＞b⇒a＋cb＋c性质3推论1a＋b＞c⇒a＞c－b推论2a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d性质4(可乘性)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc性质4推论1a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd推论2a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)推论3a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N＋，n1)1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()-2-A．5x＋4y200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200D[据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D．]2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关A[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋340，故MN.]3．用不等号填空：(1)若ab，则ac2________bc2.(2)若a＋b0，b0，则b________a．(3)若ab，cd，则a－c________b－d．(4)已知x1，则x2＋2________3x.(1)≥(2)(3)(4)[(1)因为当c20时，有ac2bc2.当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”．(2)因为a＋b0，b0，所以a0，故应填“”．(3)因为cd，所以－c－d，又因为ab，所以a－cb－d，故应填“”．(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x1，所以x－20，x－10，则(x－2)(x－1)0，即x2＋2－3x0，所以x2＋23x，故应填“”．]用不等式(组)表示不等关系【例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解]设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N＋，即4x＋9y≤100，x≥5，y≥6，x，y∈N＋.-3-1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．1．如图所示，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．[解]由题意，得L＋10W＋10＝350，L4W，L0，W0.实数大小的比较【例2】设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．[解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取等号．-4-1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.2．已知xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．[解](x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵xy0，∴xy0，x－y0.∴－2xy(x－y)0.∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．不等式的性质应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2b3，∴131b12，又∵－6a8，∴－2ab4.你认为正确吗？为什么？[提示]不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6a8，不明确a值的正负．故不能将131b12与－6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6a8，－4b2，两边分别相减得－2a－b6，你认为正确吗？[提示]不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？-5-∵2a－b4，∴－4b－a－2.又∵－2a＋b2，∴0a3，－3b0，∴－3a＋b3.这怎么与－2a＋b2矛盾了呢？[提示]利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2a－b4与－2a＋b2两边相加得0a3，又将－4b－a－2与－2a＋b2两边相加得出－3b0，又将该式与0a3两边相加得出－3a＋b3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】(1)已知－π2≤αβ≤π2，试求α－β2的取值范围；(2)设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．[思路探究](1)－π2≤αβ≤π2→α－β的范围→α－β2的范围(2)法一：用f－1，f1表示f－2→f－2的范围法二：用f－1，f1表示a，b→用a，bf－2→用f－1，f1表示f－2→f－2的范围[解](1)∵－π2≤αβ≤π2，∴－π4≤α2π4，－π4β2≤π4，∴－π4≤－β2π4，∴－π2≤α－β2π2.又αβ，∴α－β20，∴－π2≤α－β20.∴α－β2的取值范围是－π2，0.(2)法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，-6-于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[5,10]．法二：由f－1＝a－b，f1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[5,10]．1．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由ab及cd，推不出acbd；由ab，推不出a2b2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．-7-3．(1)已知12a60,15b36，求a－b与ab的取值范围；(2)若bc－ad≥0，bd0，求证：a＋bb≤c＋dd.[解](1)∵15b36，∴－36－b－15，∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.∵1361b115，∴1236ab6015，∴13ab4.∴a－b和ab的取值范围分别是(－24,45)，13，4.(2)证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.1．本节课的重点是不等式的性质及两个数(式)的大小比较问题，难点是利用不等式(组)表示不等关系．2．要熟练掌握常见的文字语言与数学语言之间的转换．文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于至少≥大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤3．本节课要重点掌握的规律方法(1)比较两个代数式(数)的大小．(2)利用不等式的性质求取值范围．这也是本节课的易错点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.()(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b0.()(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(4)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()[解析](1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，-8-故此说法正确．(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．(3)√.因为不等式x≥2表示x2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(4)√.因为不等式a≤b表示ab或a＝b．故若ab或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是()A．M－5B．M－5C．M≥－5D．M≤－5A[M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)20，(y－1)20，因此(x＋2)2＋(y－1)20.故M－5.]3．已知－12x－11，则2x－1的取值范围是____________．(1，＋∞)[－12x－11⇒0x1⇒1x1⇒2x2⇒2x－11.]4．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若ab0，cd0，e0，求证：ea－c2eb－d2.[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋10，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.(2)证明：∵cd0，∴－c－d0.又ab0，∴a－cb－d0，则(a－c)2(b－d)20，即1a－c21b－d2.又e0，∴ea－c2eb－d2.