2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-

-1-1.6微积分基本定理学习目标核心素养1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a).符号abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a).思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？[提示]不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则abf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则abf(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则abf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则abf(x)dx＝0.图①图②图③-2-1．若a＝01(x－2)dx，则被积函数的原函数为()A．f(x)＝x－2B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋CD．f(x)＝x2－2x[答案]C2．0π2cosxdx＝________.1[0π2cosxdx＝sinxπ20＝sinπ2－sin0＝1.]3．如图所示，定积分abf(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为abf(x)dx＝________.S1－S2＋S3[根据定积分的几何意义知abf(x)dx＝S1－S2＋S3.]求简单函数的定积分【例1】求下列定积分．(1)01(2x＋ex)dx；(2)121x－3cosxdx；(3)0π2sinx2－cosx22dx；(4)03(x－3)(x－4)dx.[解](1)01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.(2)121x－3cosxdx-3-＝(lnx－3sinx)21＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.(3)∵sinx2－cosx22＝1－2sinx2cosx2＝1－sinx，∴0π2sinx2－cosx22dx＝0π2(1－sinx)dx＝(x＋cosx)π20＝π2＋cosπ2－(0＋cos0)＝π2－1.(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，∴03(x－3)(x－4)dx＝03(x2－7x＋12)dx＝13x3－72x2＋12x30＝9－632＋36＝272.1当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数Fx.2由微积分基本定理求定积分的步骤,第一步：求被积函数fx的一个原函数Fx；第二步：计算函数的增量Fb－Fa.1．计算下列定积分．(1)12x－x2＋1xdx；(2)∫π20cos2x2－sin2x2dx；(3)49x(1＋x)dx.-4-[解](1)12x－x2＋1xdx＝x2－x33＋lnx21＝4－83＋ln2－1－13＝ln2＋23.(2)0π2cos2x2－sin2x2dx＝0π2cosxdx＝sinxπ20＝1.(3)49x(1＋x)dx＝49(x＋x)dx＝23x32＋x2294＝23×27＋812－23×8＋162＝18＋812－163－8＝2716.求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分．(1)f(x)＝sinx，0≤xπ2，1，π2≤x≤2，x－1，2x≤4，求04f(x)dx；(2)02|x2－1|dx.思路探究：(1)按f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解](1)04f(x)dx＝0π2sinxdx＋π221dx＋24(x－1)dx＝(－cosx)π20＋x2π2＋12x2－x42-5-＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝2.1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．(1)f(x)＝1＋2x，0≤x≤1，x2，1＜x≤2，求02f(x)dx.(2)求-22|x2－x|dx的值．[解](1)02f(x)dx＝01(1＋2x)dx＋12x2dx＝(x＋x2)10＋13x321＝2＋73＝133.(2)∵|x2－x|＝x2－x，－2≤x＜0，x－x2，0≤x≤1，x2－x，1＜x≤2，∴-22|x2－x|dx＝-20(x2－x)dx＋01(x－x2)dx＋12(x2－x)dx＝13x3－12x20－2＋12x2－13x310＋13x3－12x221＝143＋16＋56＝173.利用定积分求参数[探究问题]1．求f(a)＝01(2ax2－a2x)dx的表达式．-6-[提示]f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝23ax3－12a2x210＝23a－12a2.2．试求f(a)取得最大时a的值．[提示]f(a)＝23a－12a2＝－12a2－43a＋49＋29＝－12a－232＋29，∴当a＝23时，f(a)的最大值为29.【例3】(1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若0tf(x)dx＝6，则t＝________.(2)已知2≤12(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.[解](1)0tf(x)dx＝0t(2x－1)dx＝t2－t＝6，解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.(2)12(kx＋1)dx＝12kx2＋x21＝32k＋1.由2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.1．(变条件)若将例3(1)中的条件改为0tf(x)dx＝ft2，求t.[解]由0tf(x)dx＝0t(2x－1)dx＝t2－t，又ft2＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为0tf(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．[解]F(t)＝0tf(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t＞0)，当t＝12时，F(t)min＝－14.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函-7-数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．1．下列值等于1的是()A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dxC[选项A，因为x22′＝x，所以01xdx＝x22|10＝12；选项B，因为x22＋x′＝x＋1，所以01(x＋1)dx＝x22＋x|10＝32；选项C，因为x′＝1，所以011dx＝x|10＝1；选项D，因为12x′＝12，所以0112dx＝12x|10＝12.]2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值是()A．5B．4C．3D．2D[1a2x＋1xdx＝()x2＋lnx|a1＝a2＋lna－1，∴a2－1＝3，且lna＝ln2，故a＝2.]3.02x2－23xdx＝________.-8-43[02x2－23xdx＝02x2dx－0223xdx＝x33|20－x23|20＝83－43＝43.]4．设函数f(x)＝x2＋1，0≤x＜1，3－x，1≤x≤2，则02f(x)dx＝________.176[02f(x)dx＝01(x2＋1)dx＋12(3－x)dx＝x33＋x|10＋3x－x22|21＝176.]5．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，01f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴a＋b＋c＝0.∵f′(x)＝2ax＋b，①∴f′(0)＝b＝2.②01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx＝13ax3＋12bx2＋cx|10＝13a＋12b＋c＝0.③由①②③得a＝－32，b＝2，c＝－12，∴f(x)＝－32x2＋2x－12.