2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式学案

-1-第1课时排列与排列数公式学习目标核心素养1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)1.通过学习排列的概念及排列数公式，体现了数学抽象的素养．2.借助排列数公式进行计算培养数学运算的素养．1.排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2.相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．思考1：两个排列相同的条件是什么？[提示]两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同.3.排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示全排列的概念n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的概念把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘排列数公式Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)阶乘式Amn＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)特殊情况Ann＝n！，1！＝1,0！＝1思考2：排列与排列数有何区别？[提示]“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Amn只表示排列数，而不表示具体的排列.-2-1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[由排列的定义可知①③是排列，②④不是排列．]2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有()A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．]3．90×91×92×…×100可以表示为()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100B[由排列数公式得原式为A11100，故选B.]4．A24＝________，A33＝________.126[A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6.]排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．[思路点拨]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．-3-(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．1．判断下列问题是否是排列问题．(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？[解](1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话.排列的简单应用【例2】写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．-4-2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3种B．4种C．6种D．12种(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(1)C(2)12[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．]排列数的计算与证明[探究问题]1．排列数Amn中，n，m满足什么条件？[提示]n，m∈N*，m≤n.2．等式Amn＝nAm－1n－1成立吗？[提示]成立．Amn＝n！n－m！，Am－1n－1＝n－1！n－m！∴Amn＝nn－1！n－m！＝nAm－1n－1.【例3】(1)计算：2A58＋7A48A88－A59；(2)求证：Amn＋1－Amn＝mAm－1n.[思路点拨](1)合理选用排列数的两个公式进行展开．(2)提取公因式后合并化简．[解](1)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5-5-＝8×7×6×5×8＋78×7×6×5×24－9＝1.(2)证明：∵Amn＋1－Amn＝n＋1！n＋1－m！－n！n－m！＝n！n－m！n＋1n＋1－m－1＝n！n－m！·mn＋1－m＝m·n！n＋1－m！＝mAm－1n.∴Amn＋1－Amn＝mAm－1n.排列数的计算方法1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．3．求3Ax8＝4Ax－19中的x.[解]原方程3Ax8＝4Ax－19可化为3×8！8－x！＝4×9！10－x！，即3×8！8－x！＝4×9×8！10－x9－x8－x！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由题意知x≤8，x－1≤9，解得x≤8.所以原方程的解为x＝6.1．在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．-6-提醒：公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当mn时不成立.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．()(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．()(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．4×5×6×…×(n－1)×n等于()A．A4nB．An－4nC．(n－4)!D．An－3nD[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝An－3n.]3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．120[利用排列的概念可知不同的分配方法有A55＝120种．]4．计算：A59＋A49A610－A510.[解]法一：A59＋A49A610－A510＝5A49＋A4950A49－10A49＝5＋150－10＝320.法二：A59＋A49A610－A510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.