2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 1 曲线的参数方程 第2课时 参数方程和普通方程的

-1-第2课时参数方程和普通方程的互化学习目标：1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点)3.掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)教材整理参数方程和普通方程的互化阅读教材P24～P26，完成下列问题．1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．1．将参数方程x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)[解析]消去sin2θ，得x＝2＋y，又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.[答案]C2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为()A.x＝2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)B.x＝2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)C.x＝2cosθy＝－1＋2sinθ(θ为参数)D.x＝2cosθy＝－1＋2sinθ(θ为参数)[解析]由x＝2cosθ，y＋1＝2sinθ知参数方程为-2-x＝2cosθ，y＝－1＋2sinθ(θ为参数)．故选D.[答案]D普通方程化为参数方程【例1】曲线的普通方程为x－123＋y＋225＝1，写出它的参数方程．[思路探究]联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程．[自主解答]设x－13＝cosθ，y＋25＝sinθ，则x＝1＋3cosθ，y＝－2＋5sinθ(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程：(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为x＝rcosθy＝rsinθ(θ为参数)；(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致．1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．[解析]把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2，∴参数方程为x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2(t为参数)．-3-[答案]x＝4t1＋t2y＝4t21＋t2(t为参数)利用参数思想解题【例2】已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值．[思路探究]设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．[自主解答]由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ∈[0,2π))．(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tanφ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)．∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与-4-两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)．其中tanφ＝ba(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．2．若本例条件不变，如何求y＋2x＋1的取值范围？[解]由于x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ∈[0,2π))，∴k＝y＋2x＋1＝3＋sinθ1＋cosθ，∴sinθ－kcosθ＝k－3，即1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tanφ＝－k确定)，∴sin(θ＋φ)＝k－31＋k2.依题意，得k－31＋k2≤1，∴k－31＋k22≤1，解得k≥43，即y＋2x＋1的取值范围是43，＋∞.参数方程化为普通方程[探究问题]1．参数方程为什么要化为普通方程？[提示]参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．2．将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？[提示](1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例如对于参数方-5-程x＝at＋1tcosθ，y＝at－1tsinθ.如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn.【例3】在方程x＝a＋tcosθ，y＝b＋tsinθ(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？[思路探究](1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．[自主解答]方程x＝a＋tcosθ，①y＝b＋tsinθ，②(a，b是正常数)，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，原方程组为x－at＝cosθ，③y－bt＝sinθ.④③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．1．消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，1－k21＋k22＋2k1＋k22＝1等．-6-2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．3．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)；(2)x＝sin4θ＋cos4θy＝1－2sin2θcos2θ(θ为参数)；(3)x＝a2t＋1ty＝b2t－1t(a，b为大于零的常数，t为参数)．[解](1)将x＝2cosθy＝2sinθ两式平方相加，得x2＋y2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由x＝sin4θ＋cos4θ，y＝1－2sin2θcos2θ，得x＝1－2sin2θcos2θ，y＝1－2sin2θcos2θ，即x＝1－12sin22θ，y＝1－12sin22θ，∴x－y＝0.∵0≤sin22θ≤1，∴12≤1－12sin22θ≤1.即方程x－y＝012≤x≤1表示一条线段．(3)∵x＝a2t＋1t，∴t0时，x∈[a，＋∞)，t0时，x∈(－∞，－a]．-7-由x＝a2t＋1t，两边平方可得x2＝a24t2＋2＋1t2，①由y＝b2t－1t两边平方可得y2＝b24t2－2＋1t2，②①×1a2－②×1b2并化简，得x2a2－y2b2＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是()A.x＝t12y＝t－12B.x＝sinty＝1sintC.x＝cost，y＝1costD.x＝tant，y＝1tant[答案]D2．下列在曲线x＝sin2θy＝cosθ＋sinθ(θ为参数)上的点是()A.12，－2B.－34，12C．(2，3)D．(1，3)[解析]化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，当x＝－34时，y＝±12.[答案]B-8-3．与参数方程x＝ty＝21－t(t为参数)等价的普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y24＝1(0≤x≤1)C．x2＋y24＝1(0≤y≤2)D．x2＋y24＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)[解析]x2＝t，y24＝1－t＝1－x2，x2＋y24＝1，而由t≥01－t≥0得0≤t≤1，从而0≤x≤1,0≤y≤2.[答案]D4．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝42cosθ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程x＝－1＋acosθy＝－1＋asinθ(θ为参数)，若圆C1与C2相外切，则实数a＝________.[解析]圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为22，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝22＋|a|＝32⇒a＝±2.[答案]±25．化下列参数方程为普通方程．(1)x＝1－t1＋ty＝2t1＋t(t∈R且t≠－1)；(2)x＝tanθ＋1tanθy＝1cosθ＋1sinθθ≠kπ，kπ＋π2，k∈Z.-9-[解](1)变形为x＝－1＋21＋t，y＝2－21＋t，∴x≠－1，y≠2，∴x＋y＝1(x≠－1)．(2)x＝1sinθcosθ，①y＝sinθ＋cosθsinθ·cosθ，②②式平方结合①得y2＝x2＋2x，由x＝tanθ＋1tanθ知|x|≥2，所以方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．