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-1-第1章计数原理第1课排列组合的综合应用组数问题【例1】从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？[思路点拨]先将九个数字分类―→依据题设选出数字―→排列即可[解](1)分步完成：第1步在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第2步在5个奇数中取4个，可有C45种情况；-2-第3步3个偶数，4个奇数进行排列可有A77种情况；故共有C34C45A77＝100800个．(2)上述七位数中，将3个偶数排在一起有A33种情况；故采用捆绑法求得三个偶数在一起的共有C34C45A55A33＝14400种．1．(变结论)若组成的七位数中任意两个偶数都不相邻，共有多少个？[解]上述七位数中，偶数不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档中，即共有：C45A44C34A35＝28800个．2．(变条件)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)[解]当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是C23A33C14＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是A33C13＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个)．当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是C13C23A33C13＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个)．根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个)．组数问题是一类典型的排列组合问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等.需要注意以下几个问题：①首位数字不为0；②若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；③若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；④此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类.分组与分配问题【例2】某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有()A．96种B．100种C．124种D．150种-3-[思路点拨]把5个安保小组分成三组→把分成的三组安排到三个区域中→得结果D[因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的安排方法共有N1＝C15C14C33A22A33＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的安排方法共有N2＝C25C23C11A22A33＝90(种)．根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)．]解决此类问题的关键是正确判断是不是平均分组、有序分组，无序平均分组要除以组数的阶乘，有序平均分组是在无序平均分组的基础上再乘以组数的阶乘.1．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15B．20C．30D．42C[四个篮球分成三组：2,1,1，共有C24种不同分法，分给三位小朋友共有C24A33种不同分法．若1,2号两个篮球分组同一个小朋友，共有A33种不同分法，故共有C24A33－A33＝30种不同的分法．]排列、组合的综合应用【例3】有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？[思路点拨]取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4；1,1,4,4；2,2,3,3；三类按照先选再排的方法求解．[解]分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种；第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种；第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44中．故满足题意的所有不同的排法种数为C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.-4-解答排列、组合综合问题的思路及注意点1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．2．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A．72B．108C．180D．216C[根据题意，分析可得，必有2人参加同一社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44＝24(种)情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C24·A33＝36(种)情况，则除甲外的4人有24＋36＝60(种)情况，故不同的参加方法的种数为3×60＝180(种)，故选C.]