搜索
-1-2.1.1离散型随机变量学习目标核心素养1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)通过学习随机变量及离散型随机变量，培养数学抽象的素养.1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以判断其出现的所有值．③在试验之前不能确定取何值．④试验结果能一一列出．思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….1．下列变量中，是离散型随机变量的是()A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球-2-是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5D．1,2，…，5B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________．①某景点一天的游客数X；②某手机一天内收到呼叫次数X；③水文站观测到江水的水位数X；④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.③[①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．]随机变量的概念【例1】(1)6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；②2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；③2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；④体积为1000cm3的球的半径长．(1)B[A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C，D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．](2)[解]①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．④球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次-3-试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64cm3的正方体的棱长．[解](1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是一等奖、二等奖、三等奖，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64cm3的正方体的棱长为4cm为定值，不是随机变量.离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某教学资源网站一天内的点击量；(2)你明天上学进入校门的时间；(3)某市明年下雨的次数；(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．[思路点拨]根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．[解](1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．离散型随机变量判定的关键及方法1．关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．2．具体方法：-4-(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．2．(1)给出下列四种变量：①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.③测量一批电阻，在950Ω和1200Ω之间的阻值记为X.④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)有下列问题：①某单位一天来往的人数X；②从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；③一天内的温度为X；④某人一生内的身高为X；⑤全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；⑥某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.上述问题中的X是离散型随机变量的是________．(1)B(2)①②⑤[(1)①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间，是连续型随机变量；④一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．故离散型随机变量个数是2个．(2)①②⑤都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而③④都是连续型随机变量，不能一一列出，⑥也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．]随机变量的可能取值及试验结果[探究问题]1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能-5-用数字表示吗？[提示]可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.[思路点拨]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3.X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.1．(变换条件、改变问法)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？[解]ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．2．(改变问法)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？[解]X可取1,2,3.X＝3表示取出的3个球的编号为3,4,5；X＝2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5；X＝1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.-6-用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2019年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解](1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．()[答案](1)√(2)√(3)×2．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()-7-A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到1个红球D．至少取到1个红球的概率B[A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]3．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．0,1,2,3[甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]4．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．[解]根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．