2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.2.3 独立重复试验与二项分布学案 新

-1-2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标核心素养1.理解n次独立重复试验的模型．2.理解二项分布．(难点)3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)1.通过学习独立重复试验与二项分布，体会逻辑推理的素养．2.借助独立重复试验的模型及二项分布解题，提升数学运算的素养.1．n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．思考1：独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]独立重复试验满足的条件：第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．思考2：二项分布与两点分布有什么关系？[提示](1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A.34B.38C.13D.14-2-B[抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C23122×12＝38.]2．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于________．80243[P(X＝2)＝C261321－134＝80243.]3．姚明在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．0.243[设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3,0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C230.92×(1－0.9)＝0.243.]独立重复试验概率的求法【例1】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率．[解](1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，恰有2次准确的概率为C250.82×0.23＝0.0512≈0.05.因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C05(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.故所求概率为1－0.01＝0.99.本例条件不变，求5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[解]由题意可知，第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以所求概率为C14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02.故5次预报中恰有2次准确，且第3次预报准确的概率为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．-3-1．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)(1)0.44(2)0.19[由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C23×0.72×(1－0.7)≈0.44.(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C23×0.72×(1－0.7)]×[C23×0.62×(1－0.6)]≈0.19.]二项分布【例2】某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．[思路点拨]解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．[解]设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，因为P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×1－12＝12，P(C)＝310，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B4，25，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，因为P(A0)＝C04×354＝81625，-4-P(A1)＝C14×25×353＝216625，P(A2)＝C24×252×352＝216625，P(A3)＝C34×253×35＝96625，P(A4)＝C44×254×350＝16625.所以X的分布列为X01234P8162521662521662596625166251．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．[解]有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B3，15.所以P(X＝0)＝C03150453＝64125，P(X＝1)＝C13151452＝48125，P(X＝2)＝C23152451＝12125，P(X＝3)＝C33153450＝1125.所以X的分布列为：-5-X0123P6412548125121251125独立重复试验与二项分布综合应用[探究问题]1．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？[提示]独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．【例3】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．[思路点拨](1)借助互斥事件及二项分布的知识求解．(2)注意题设信息：直到种子发芽为止，且试验的次数不超过5次．[解](1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X，则P(X＝3)＝C35×133×232＝40243，P(X＝4)＝C45×134×23＝10243，P(X＝5)＝C55×135×230＝1243.所以至少有3次发芽成功的概率P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)-6-＝40243＋10243＋1243＝51243＝1781.(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝2)＝23×13＝29，P(ξ＝3)＝232×13＝427，P(ξ＝4)＝233×13＝881，P(ξ＝5)＝234×1＝1681.所以ξ的分布列为ξ12345P132942788116811．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．[解](1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(A1)＝1－234＝6581，所以甲连续射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”-7-为事件B2，则P(A2)＝C24×232×1－234－2＝827；P(B2)＝C34×343×1－344－3＝2764.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.1．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义2．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布当n＝1时，二项分布就是两点分布；二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．()(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．()[答案](1)√(2)√(3)×2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0