2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2

-1-2.2.1综合法和分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．思考2:综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．1．用分析法证明：欲使①AB，只需②CD，这里②是①的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[②⇒①，∴②是①的充分条件．]-2-2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法B[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________．A－B＞0[要证A＞B，只要证A－B＞0.]4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证______，由于______显然成立，因此原不等式成立．a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]综合法的应用【例1】(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：1a＋1b≥4.(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.①求证：A的大小为π3；②若sinB＋sinC＝3，证明△ABC为等边三角形．[证明](1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，∴(a＋b)1a＋1b≥4.又a＋b＝1，-3-∴1a＋1b≥4.法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．(2)①由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝π3.②因为A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝3，32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°，所以B＋30°＝90°，B＝60°，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC为等边三角形．综合法的解题步骤-4-1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD.又AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.分析法的应用【例2】设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[证明]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2.即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，-5-∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等．(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件．(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”．2．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.[证明]要证ab＋ba≥a＋b，只要证aa＋bb≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，因为a，b是正实数，即证a＋b－ab≥ab，也就是要证a＋b≥2ab，即(a－b)2≥0.而该式显然成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法和分析法的综合应用[探究问题]1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？[提示]在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？[提示]用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【例3】已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.-6-求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．[证明]要证明：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)．由已知0x1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．1．(变条件)删掉本例条件“0x1”，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.[证明]要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc，只需证lga＋b2·b＋c2·c＋a2lg(a·b·c)，即证a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，c＋a2≥ac＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立，所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc成立．-7-2．(变条件)把本例条件“0x1”换成“abc＝1”，求证：1a＋1b＋1c＞a＋b＋c.[证明]法一：由左式推证右式∵abc＝1，且a，b，c为不全相等的正数，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ab＝bc＋ac2＋ac＋ab2＋ab＋bc2＞bc·ac＋ac·ab＋ab·bc＝c＋a＋b.∴1a＋1b＋1c＞a＋b＋c.法二：由右式推证左式∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab＜1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.1．欲证2－36－7成立，只需证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2C[∵2－30，6－70，-8-故2－36－7⇔2＋73＋6⇔(2＋7)2(3＋6)2.]2．在△ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则△ABC一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由sinAsinBcosAcosB得cos(A＋B)＝－cosC0，所以cosC0,即△ABC一定是钝角三角形．]3．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．a≠b且a≥0，b≥0[aa＋bb＞ab＋ba⇔aa－ab＞ba－bb⇔a(a－b)＞b(a－b)⇔(a－b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．]4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．9[因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．]5．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)[证明]法一：(综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二：(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b0.∴a－b≥0,3a2－2b22a2－2b2≥0，∴上式成立．