2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2

-1-2.3数学归纳法学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4-2-C[A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C.]2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．[答案]23．已知Sn＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n－12n＋1，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.13253749n2n＋1[分别将1,2,3,4代入得S1＝13，S2＝25，S3＝37，S4＝49，观察猜想得Sn＝n2n＋1.]用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n22n－12n＋1＝nn＋122n＋1(n∈N*)．(1)2(2k＋1)[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以fk＋1fk＝2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．](2)证明：①当n＝1时，121×3＝1×22×3成立．②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，则当n＝k＋1时，121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝kk＋122k＋1＋-3-k＋122k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：1弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；2弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；3证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.1．求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．[证明]①当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k成立．那么当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋12k＋1，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，对于任意n∈N*，等式都成立.归纳—猜想—证明【例2】已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1的前n项和为Sn，计算S1，-4-S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解]S1＝11×4＝14；S2＝14＋14×7＝27；S3＝27＋17×10＝310；S4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝n3n＋1.下面用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，则当n＝k＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节-5-(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．[解]由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝32；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝74；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝158.猜想an＝2n－12n－1.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝2k－12k－1，当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，∴ak＋1＝12[]2k＋1－Sk＝k＋1－12(2k－2k－12k－1)＝2k＋1－12k＋1－1，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，an＝2n－12n－1对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明不等式[探究问题]-6-1．你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，nn－1，nn＋1(n∈N*)；(2)1n2，1nn－1，1nn＋1(n∈N*，n1)；(3)12n＋1＋12n，12n－1(n∈N*)．[提示](1)nn－1nnn＋1；(2)1nn＋11n21nn－1；(3)∵12n＋1＋12n12n＋12n＝22n＝12n－1，∴12n＋1＋12n12n－1.2．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．[提示]在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如：(1)1k＝2k＋k2k＋k＋1＝2()k＋1－k()k∈N*，k1，1k＝2k＋k2k＋k－1＝2()k－k－1()k∈N*，k1.(2)1k21kk－1＝1k－1－1k(k≥2),1k21kk＋1＝1k－1k＋1.(3)1k21k2－1＝1k－1k＋1＝12(1k－1－1k＋1)(k≥2)．【例3】用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．思路探究：按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明](1)当n＝1时，32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，-7-1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．3．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边右边，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1k，则当n＝k＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k＋1×2k2k＝k＋1，所以，当n＝k＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2)．[证明](1)当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k.则当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋122－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1.即当n＝k＋1时命题成立．由(1)和(2)知原不等式在n≥2时均成立．用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳-8-法证明的第二步，即已知fk＞gk，求证fk＋1＞gk＋1时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：1先凑假设，作等价变换；2瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3C[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是()A．(2k＋1)＋(2k＋2)B．(2k－1)＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3)D．(2k＋2)＋(2k＋4)C[当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.]3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，由此推测，当n＞2时，有________．[答案]f(2n)＞n＋224．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1n＋12＞12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n-9-＝k＋1时，应