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-1-3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标核心素养1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)1．通过复数概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过复数有关概念的应用，培养学生的数学运算的核心素养.1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0非纯虚数a≠0纯虚数a＝0思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]1．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有()A．C＝R∩IB．R∩I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝-2-D[由复数的概念可知R⊂C，I⊂C，R∩I＝.]2．复数i－2的虚部是()A．iB．－2C．1D．2C[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A[∵(x＋y)i＝x－1，∴x＋y＝0，x－1＝0，∴x＝1，y＝－1.]4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是________．0,1＋i，πi，3＋2i，13－3i，π3i.1＋i，πi，3＋2i，13－3i，π3iπi，π3i[根据虚数的概念知：1＋i，πi，3＋2i，13－3i，π3i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，π3i都是纯虚数．]复数的概念及分类【例1】实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？[解]①当x满足x2－2x－15＝0，x＋3≠0，即x＝5时，z是实数．②当x满足x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．③当x满足x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键-3-(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．1或－3[由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.]2．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．[解]由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.③当k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0时，z是纯虚数，解得k＝4.④当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0时，z＝0，解得k＝－1.复数相等的充要条件[探究问题]1．由32能否推出3＋i2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？[提示]由32不能推出3＋i2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi0，则实数a，b满足什么条件？[提示]若复数z＝a＋bi0，则实数a，b满足a0，且b＝0.【例2】(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i0，则实数m的值等于________．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．思路探究：(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解．-4-(1)－3[∵z0，∴m2－9＝0，m＋1＜0，∴m＝－3.](2)[解]设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－12且－122－12＋3m＝0，所以m＝112.1．(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．[解]由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－23＋i.2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)0，求实数m的取值范围．[解]由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i0，故2x＋1＝0，x2＋x＋3m0，解得x＝－12，m112.所以实数m的取值范围为112，＋∞.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()-5-A.2，1B.2，5C．±2，5D．±2，1C[令a2＝2，－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.]2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B[(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1的虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.]3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．x＝1y＝1或x＝－1y＝－1[∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.]4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．2[由题意得m2－2m＝0，m2－1＞1，解得m＝2.]5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.[解]由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当m2－2m－15＝0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是0，∴m＝－3.