2019-2020学年高中数学 第3章 统计案例 阶段复习课 第3课 统计案例学案 新人教A版选修2

-1-第3章统计案例第3课统计案例回归分析【例1】为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．xyui＝18(xi－x)2i＝18(xi－x)(yi－y)i＝18(ui－u)2i＝18(ui－u)(yi－y)15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049其中ui＝1xi，u＝18i＝18ui.-2-(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v1)(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线v^＝a^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nωi－ωvi－vi＝1nωi－ω2，α^＝v－β^ω.)[思路点拨](1)借助散点图求解；(2)令u＝1x―→建立y关于u的回归方程―→建立y关于x的回归方程；(3)建立利润函数f(x)，解f(x)≥78.840得x的范围．[解](1)由散点图判断，y＝c＋dx适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程．(2)令u＝1x，先建立y关于u的线性回归方程，由于d^＝i＝18ui－uyi－yi＝18ui－u2＝7.0490.787≈8.96，∴c^＝y－d^·u＝3.63－8.96×0.269≈1.22，∴y关于u的线性回归方程为y^＝1.22＋8.96u，从而y关于x的回归方程为y^＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x千册，依题意：10x－1.22＋8.96x·x≥78.840.即8.78x≥87.8，解得x≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78840元．-3-求线性回归方程的基本步骤提醒：对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．[解]x＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，i＝15x2i＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，i＝15y2i＝122＋102＋72＋52＋32＝327，i＝15xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝620－5×18×7.41660－5×182＝－1.15，-4-所以a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y对x的线性回归方程为y^＝－1.15x＋28.1，列出残差表为yi－y^i00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以i＝15(yi－y^i)2＝0.3，i＝15(yi－y)2＝53.2，R2＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2≈0.994.所以R2≈0.994，拟合效果较好.独立性检验【例2】户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性5女性10总计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)求该公司男、女员工各多少人；(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．-5-下面的临界值表仅供参考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性20525女性101525总计302050(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．(3)K2的观测值k＝50×20×15－10×5230×20×25×25≈8.3337.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．独立性检验的一般步骤1．提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；2．根据2×2列联表计算K2的观测值；3．根据K2的观测值与临界值的大小关系作统计推断．2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断．[解]建立性别与态度的2×2列联表如下：肯定否定总计男生2288110女生223860总计44126170-6-根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0.2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．根据列联表中的数据得到K2的观测值k＝170×22×38－22×882110×60×44×126≈5.6225.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系.独立性检验与统计的综合应用【例3】为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85]频数1025203015完成下面2×2列联表疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝[解](1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝C12C99198C100200＝100199.(2)2×2列联表如下．-7-疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100合计10595n＝2001．(改变问法)本例条件不变，改变问法：是否有99%的把握认为注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异？[解]根据列联表中的数据得到K2的观测值k＝200×70×65－35×302100×100×105×95≈24.56.由于K2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．2．(改变问法)在本例(2)中完成如图所示的频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小．图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图[解]如图所示图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图-8-可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．1．独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．2．近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算K2的观测值，从而解决问题．3．某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．[解](1)2×2列联表如下：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030-9-(2)根据列联表中的数据得到K2的观测值k＝30×8－128212×18×20×10＝106.635，P(K26.635)＝0.01，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．