2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 新人教B版选

-1-2．2.1椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形-2-焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是()A一个椭圆B．线段ABC．线段AB的垂直平分线D．直线ABB[定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上．]2．以下方程表示椭圆的是()A.x225＋y225＝1B．2x2－3y2＝2C．－2x2－3y2＝－1D.x2n2＋y2n2＋2＝0C[A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()A.x25＋y24＝1B.x23＋y24＝1C.x25＋y24＝1或x23＋y24＝1D.x29＋y24＝1或x23＋y24＝1C[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是x25＋y24＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是x23＋y24＝1.]求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；-3-(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[思路探究]求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝5＋42＋5－42＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，⇒a2＝4，b2＝1.故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15.因为ab0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，-4-依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；(2)经过两点(2，－2)，－1，142.[解](1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知2a＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，所以a＝6.又c＝2，所以b＝a2－c2＝42.所以椭圆的标准方程为y236＋x232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由题意得18a2＋16b2＝1，a2＝b2＋4，解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为y236＋x232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，-5-设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由已知条件得4a2＋2b2＝1，1a2＋144b2＝1，解得1a2＝18，1b2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．将两点(2，－2)，－1，142代入，得4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得A＝18，B＝14，所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示]P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}．2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示]判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？[提示]椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2＝b2＋c2(如图所示)．【例2】如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．-6-[思路探究]由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．[解]由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353.(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．[解]设P点坐标为(x0，y0)．由本例解答可知S△PF1F2＝12|F1F2|·|y0|＝353，解得|y0|＝353，即y0＝±353，将y0＝±353代入x24＋y23＝1得x＝±85，所以点P的坐标为±85，±353.与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．-7-[解]由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.∴|CM|＋|MA|＝5.∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝52，c＝1，∴b2＝a2－c2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x2254＋y2214＝1.在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解]如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x264＋y248＝1.椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义-8-|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量.1．思考辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是(±3,0)．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()[提示](1)×需2a＞|F1F2|.(2)×(0，±3)．(3)×a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．2．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为()A．1B．5C．2D．7D[由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]3．椭圆x225＋y29＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为()A．10B．20C．40D．50B[由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝20，故选B.]4．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A1，32到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．x24＋y23＝1[由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为x24＋y2b2＝1，将A1，32代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1.]-9-