2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.4 二面角及其度量学案 新人教B

-1-3．2.4二面角及其度量学习目标核心素养1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养学生的数学抽象素养.2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示](1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．-2-1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定C[由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A­BD­C的大小为()A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π3C[当二面角A­BD­C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝π3；当二面角A­BD­C为钝角时，它应等于π­〈n1，n2〉＝π－π3＝2π3.]3．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．27[由题得AB→＝(－1,2,0)，AC→＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·AB→＝0，n·AC→＝0，知－x＋2y＝0，－x＋3z＝0.令x＝2，得y＝1，z＝23，则平面ABC的一个法向量为n＝2，1，23.平面xOy的一个法向量为OC→＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cosθ|＝OC→·n|OC→|·|n|＝23×73＝27.]用定义法求二面角【例1】如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A­VB­C的余弦值．[思路探究]先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中点E，-3-连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．[解]取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝VB＝VC＝AB，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A­VB­C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝2a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝32a2＋32a2－2a22×32a×32a＝－13，∴所求二面角A­VB­C的余弦值为－13.用定义求二面角的步骤1作找出二面角的平面角作二面角时多用三垂线定理；2证明所作平面角即为所求二面角的平面角；3解三角形求角.1．如图所示，在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB夹角的正切．[解](1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD.(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∵AE⊥VD，AE＝32AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.-4-因此，∠AEB是所求二面角的平面角．于是tan∠AEB＝ABAE＝233，即平面VAD与平面VDB夹角的正切为233.用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示](1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？[提示]条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ【例2】如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．[思路探究](1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证．(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值．[解](1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，-5-所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，所以O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，则由m⊥OB1→，m⊥OC1→，所以3x＋2z＝0，y＋2z＝0，取z＝－3，则x＝2，y＝23，所以m＝(2,23，－3)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝2319＝25719.由图形可知二面角C1­OB1­D的大小为锐角，所以二面角C1­OB1­D的余弦值为25719.1．(改变问法)本例条件不变，求二面角B­A1C­D的余弦值．[解]如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1,2)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(－3，0,0)．所以BC→＝(－3，1,0)，A1C→＝(0,2，－2)，CD→＝(－3，－1,0)．设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，-6-则n1·A1C→＝0，n1·BC→＝0，即2y1－2z1＝0，－3x1＋y1＝0，取x1＝3，则y1＝z1＝3，故n1＝(3，3,3)．设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·A1C→＝0，n2·CD→＝0，即2y2－2z2＝0，－3x2－y2＝0，取x2＝3，则y2＝z2＝－3，故n2＝(3，－3，－3)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－1521＝－57.由图形可知二面角B­A1C­D的大小为钝角，所以二面角B­A1C­D的余弦值为－57.2．(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．[解]以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E1，12，0，D1(0,1,1)，F12，1，0，AE→＝1，12，0，AB1→＝(1,0,1)，AF→＝12，1，0，AD1→＝(0,1,1)．设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AB1→＝0，n1·AE→＝0，即x1＋z1＝0，x1＋12y1＝0，令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1,2,1)．设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·AD1→＝0，n2·AF→＝0，即y2＋z2＝0，12x2＋y2＝0.令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n2＝(2，－1,1)．-7-所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|＝|－1，2，1·2，－1，1|－12＋22＋12·22＋－12＋12＝|－1×2＋2×－1＋1×1|6×6＝12.利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝|n1·n2||n1|·|n2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.提醒：确定平面的法向量是关键．空间中的翻折与探索性问题【例3】如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB.将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC.(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝12PD，求证：CP∥平面ABEF；(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．[解](1)在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，∴AF＝3.又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，在线段AF上取点Q，使AQ＝12QF，连接PQ，QE，∵AP＝12PD，∴PQ綊13DF，∵CE綊13DF，∴CE綊PQ，∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，∵CP⊄平面ABEF，EQ⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.-8-(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC.设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝4＋4－x2，∵线段FA，FC，FD的长成等比数列，∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，A(0,0,2)，∴EC→＝(0,2,0)，EA→＝(－2,0,2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，则n1·EC→＝0n1·EA→＝0，即2y1＝0－2x1＋2z1＝0，取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1,0,1)．又FC→＝(2,2,0)，FA→＝(0,0,2)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，则n2·FC→＝0n2·FA→＝0，即2x2＋2y2＝02z1＝0，取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝12×2＝12.∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，∴平面EAC和平面ACF的