2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.5 距离（选学）学案 新人教B版

-1-3．2.5距离(选学)学习目标核心素养1.掌握向量长度计算公式．(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．(重点、难点)通过学习空间距离的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？[提示]1．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是()A．7B．8C．9D．10-2-A[以P为坐标原点，PA→，PB→，PC→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝22＋32＋62＝7.]2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()A.534B.532C.532D.132C[∵M点坐标为2，32，3，∴|MC|＝2－02＋32－12＋3－02＝532.]3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.83D.103D[AP→＝(－1，－2,4)，d＝|AP→·n||n|＝103.]空间两点间的距离【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0a2)．(1)求MN的长．(2)a为何值时，MN的长最小？[思路探究]建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．[解](1)建立如图所示的空间直角坐标系，-3-则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)．因为CM＝BN＝a(0a2)，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以M22a，0，1－22a，N22a，22a，0，所以MN→＝0，22a，22a－1，所以|MN→|＝a2－2a＋1.(2)由(1)知MN＝a－222＋12，所以，当a＝22时，MN＝22.即当a＝22时，MN的长最小，最小值为22.计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝|AB→|2＝AB→·AB→求解．(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．1．如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．[解]∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0，又∵二面角α­AB­β的平面角为120°，∴〈CA→，BD→〉＝60°，∴|CD|2＝|CD→|2＝(CA→＋AB→＋BD→)2-4-＝CA→2＋AB→2＋BD→2＋2(CA→·AB→＋CA→·BD→＋BD→·AB→)＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.点到直线的距离[探究问题]1．如何理解与认识点到直线的距离？[提示]点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2．如何用向量法求点到直线的距离？[提示]设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量PA→在向量s上的射影的大小为|PA→·s0|，则点A到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·s0|2其中s0＝s|s|.【例2】已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．[思路探究]建立坐标系，利用向量法求解．[解]以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为A1C1→＝(－4,3,0)，而BC1→＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d＝|BC1→|2－BC1→·A1C1→|A1C1→|2.]-5-