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-1-1.3简单的逻辑联结词学习目标核心素养1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)1.通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否-2-定”．(2)真假判断若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(¬p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断pqp∨qp∧q¬p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]2．已知p，q是两个命题，若“(¬p)∨q”是假命题，则()A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(¬p)∨q为假命题，则¬p，q都是假命题，即p真q假，故选D.]3．已知p：{0}，q：{2}∈{1，2，3}．由它们构成的新命题“¬p”“¬q”“p∧q”“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[∵p真，q假，∴¬p假，¬q真，p∨q真，p∧q假．]-3-4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．p∨q真[5≥5，即5＞5或5＝5.]含有逻辑联结词的命题结构【例1】指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“¬p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p∧q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p∨q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．¬p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.-4-含逻辑联结词命题的真假判断【例2】已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨(¬q)．则其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4思路探究：判断p，q的真假→判断¬p，¬q的真假→判断所给命题的真假C[由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋40，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x0时，f(x)＝x＋4x0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(¬q)，(¬p)∨(¬q)是真命题，故选C.]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“¬p”与p真假相对．(2)判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“¬p”；②判断其中的简单命题p，q的真假；③根据真值表判断复合命题的真假．2．(1)已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③¬q为真命题，则p∧(¬q)为真命题，④¬p为假命题，则(¬p)∨q为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假．①p：1∈{2，3}，q：2∈{2，3}；②p：2是奇数，q：2是合数；-5-③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－100的解集是{x|－2x5}，q：不等式x2－3x－100的解集是{x|x5或x－2}．[解]①∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．②∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．③∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，¬p是假命题．④∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是假命题.由复合命题的真假求参数的取值范围[探究问题]1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？[提示]p为假命题时，参数的取值范围是RA.2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？[提示]当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B.当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.【例3】已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．思路探究：分别求当p、q为真时m的范围→根据p∨q，p∧q的真假分析p、q的真假→得出m的范围[解]当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，m2－40，－m0，解得m2，当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－160，解得1m3.因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．若p真q假，则m2，m≥3或m≤1，所以m≥3.若p假q真，则m≤2，1m3，所以1m≤2.-6-所以m的取值范围为(1，2]∪[3，＋∞)．1．本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．[解]由例题知，当p为真时，m2，当q为真时1m3，则当p∨q为真命题时，m1，当p∧q为真命题时，2m3.2.本例题中，若命题p改为“关于x的不等式ax1(a0，且a≠1)的解集是{x|x0}，命题q改为“函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R”．其他条件不变，试求a的取值范围．[解]根据关于x的不等式ax1(a0，且a≠1)的解集为{x|x0}知0a1，由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a0的解集为R，则a0，1－4a20，解得a12.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．故a1，a12或0a1，a≤12.解得0a≤12或a1.所以a的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．根据命题的真假求参数范围的步骤(1)求出p、q均为真时参数的取值范围；(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．3．若命题p为真，则“¬p”为假；若p为假，则“¬p”为真，类比集合知识，“¬p”就相当于集合p在全集U中的补集Up.因此(¬p)∧p为假，(¬p)∨p为真．-7-4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．1．若命题“p∧q”为假，且¬p为假，则()A．p∨q为假B．q假C．q真D．p假B[由¬p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]2．给出下列命题：①21或13；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4D[对于①，是“或”命题，且21是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝200，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.]3．已知命题：p：对任意x∈R，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．¬p∧¬qC．¬p∧qD．p∧¬qD[因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x0恒成立，故p为真命题；因为当x1时，x2不一定成立，反之，当x2时，一定有x1成立，故“x1”是“x2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、¬p为假命题，¬q为真命题，¬p∧¬q、¬p∧q为假命题，p∧¬q为真命题，故选D.]4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．－2，12[p为真时，2a－10，即a12，q为真时，－a2≤1，即a≥－2，则p∧q为真时，p，q都真，-8-所以－2≤a12.]